Chủ đề này có 1 trả lời

[trungdung19122002]

Cho $x;y;z$ là các số dương tùy ý . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{\sqrt{xyz}}{(1+x)(1+x+y)(1+x+y+z)}$

[phamngochung9a]

Cho $x;y;z$ là các số dương tùy ý . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{\sqrt{xyz}}{(1+x)(1+x+y)(1+x+y+z)}$

Xét mẫu của $P$:

$A=\left ( 1+x \right )\left ( 1+x+y \right )\left ( 1+x+y+z \right )$

$\geq 2\left ( 1+x \right )\left ( 1+x+y \right )\sqrt{z\left ( 1+x+y \right )}$

$\Rightarrow A^{2}\geq 4\left ( 1+x \right )^{2}\left ( 1+x+y \right )^{3}z=4\left ( 1+x \right )^{2}\left ( \frac{1+x}{2}+\frac{1+x}{2}+y \right )^{3}z$

$\geq 108\left ( 1+x \right )^{2}.\frac{\left ( 1+x \right )^{2}}{4}.yz=27\left ( \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+x \right )^{4}yz$

$\geq 256xyz$

$\Rightarrow P\leq \frac{\sqrt{xyz}}{A}\leq \frac{1}{\sqrt{256}}=\frac{1}{16}$

 

Vậy $\max P = \frac{1}{16}$ khi và chỉ khi: $\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{3} & & \\ y=\frac{2}{3} & & \\ z=2 & & \end{matrix}\right.$