Cho $x;y;z$ là các số dương tùy ý . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{\sqrt{xyz}}{(1+x)(1+x+y)(1+x+y+z)}$
Max $P=\frac{\sqrt{xyz}}{(1+x)(1+x+y)(1+x+y+z)}$
#1
Đã gửi 21-01-2017 - 20:11
#2
Đã gửi 21-01-2017 - 22:24
Cho $x;y;z$ là các số dương tùy ý . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{\sqrt{xyz}}{(1+x)(1+x+y)(1+x+y+z)}$
Xét mẫu của $P$:
$A=\left ( 1+x \right )\left ( 1+x+y \right )\left ( 1+x+y+z \right )$
$\geq 2\left ( 1+x \right )\left ( 1+x+y \right )\sqrt{z\left ( 1+x+y \right )}$
$\Rightarrow A^{2}\geq 4\left ( 1+x \right )^{2}\left ( 1+x+y \right )^{3}z=4\left ( 1+x \right )^{2}\left ( \frac{1+x}{2}+\frac{1+x}{2}+y \right )^{3}z$
$\geq 108\left ( 1+x \right )^{2}.\frac{\left ( 1+x \right )^{2}}{4}.yz=27\left ( \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+x \right )^{4}yz$
$\geq 256xyz$
$\Rightarrow P\leq \frac{\sqrt{xyz}}{A}\leq \frac{1}{\sqrt{256}}=\frac{1}{16}$
Vậy $\max P = \frac{1}{16}$ khi và chỉ khi: $\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{3} & & \\ y=\frac{2}{3} & & \\ z=2 & & \end{matrix}\right.$
- sharker, trungdung19122002, kienvuhoang và 1 người khác yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: inequality, bất đẳng thức, cực trị
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của biểu thức $N= 6 - 3a - 4b + 2ab$Bắt đầu bởi Phuockq, 10-04-2024 cực trị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh