Chủ đề này có 2 trả lời

[bangbang1412]

Cho $A$ là một nhóm abel tự do , $B$ là nhóm con abel tự do của $A$ . Chứng minh $rank B \leq rank A$ và chỉ ra một trường hợp đẳng thức xảy ra nhưng $B$ là tập con thực sự của $A$ . 

[vutuanhien]

Cho $A$ là một nhóm abel tự do , $B$ là nhóm con abel tự do của $A$ . Chứng minh $rank B \leq rank A$ và chỉ ra một trường hợp đẳng thức xảy ra nhưng $B$ là tập con thực sự của $A$ . 

Ta có bổ đề sau:

Giả sử $\varphi:A\to A'$ là một toàn cấu của các nhóm Abel với $B=Ker(\varphi)$ và $A'$ là một nhóm abel tự do. Khi đó tồn tại một nhóm con $C\subset A$ sao cho hạn chế trên $C$ của $\varphi$ là một đẳng cấu, và $A\cong B\times C$.

 

Trở lại bài toán, ta chứng minh bằng quy nạp theo $rank A$

Giả sử $\left\{x_{1},...,x_{n}\right\}$ là một cơ sở của $A$. Như vậy theo một tính chất quen thuộc của nhóm abel tự do:

$A\cong Zx_{1}\times Zx_{2}\times...\times Zx_{n}$

Xét $\varphi: A\to Zx_{1}$: $\varphi(m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}+...+m_{n}x_{n})=m_{1}x_{1}$ với mọi $m_{i}\in \mathbb{Z}$

Giả sử $B_{1}=Ker(\varphi_{|B})$. Như vậy rõ ràng $B_{1}$ là nhóm con của nhóm sinh bởi $<x_{2},...,x_{n}>$. Theo giả thiết quy nạp, $B_{1}$ là nhóm tự do và $rank(B_{1})\leq n-1$. 

Ta lại có $\varphi(B)$ là nhóm con của nhóm cyclic vô hạn $Zx_{1}$ nên $\varphi(B)=0$ hoặc $\varphi(B)$ là nhóm cyclic vô hạn. Trong cả hai trường hợp, $\varphi(B)$ đều là một nhóm tự do. Do đó theo bổ đề trên, tồn tại một nhóm con $C_{1}\subset B$ sao cho $B\cong B_{1}\times C_{1}$. Mà $C_{1}\cong \varphi(B)$ theo bổ đề trên nên $rank(C_{1})\leq 1$.

Suy ra $rank(B)=rank(B_{1})+rank(C_{1})\leq (n-1)+1=n$. Ta có đpcm. 

[bangbang1412]

Lấp đi cm bổ đề là không tốt nha anh 

Trước tiên ta thấy do $A$ là free abelian nên 

$$A \cong Z^{n}$$

Xét phép chiếu lên tọa độ thứ $i$ 

$$\pi_{i} : Z^{n} \to Z$$u

Với $m \leq n$ gọi $B_{m}$ là nhóm chứa tất cả $x \in B$ sao cho $\pi_{i}(x) =0 \forall i > m$  , thế thì $B_{m}$ là một subgroup của $B$ khi đõ dễ thấy $B_{n}=B$ . Bây giờ nếu $\pi_{m}(B_{m})$ nó nontrivial thì chọn một phần tử $x_{m}$ sao cho $\pi_{m}(x_{m})$ sinh ra $\pi_{m}(B_{m})$ , nếu không $x_{m}=0$ . Khi đó hệ $x_{1},...x_{m}$ sau khi loại đi các số $0$ sẽ thu  được một cơ sở của $B$ . Nên $rank B \leq rank A$

Bình luận thêm :  cái đoạn cuối giống kg vector   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 22-01-2017 - 14:47