Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\left | \frac{a^{3}-b^{3}}{a+b}+\frac{b^{3}-c^{3}}{b+c}+\frac{c^{3}-a^{3}}{c+a} \right |\leqslant \frac{1}{4}\left [(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2} \right ]$
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\left | \frac{a^{3}-b^{3}}{a+b}+\frac{b^{3}-c^{3}}{b+c}+\frac{c^{3}-a^{3}}{c+a} \right |\leqslant \frac{1}{4}\left [(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2} \right ]$
đừng nghĩ LIKE và LOVE giống nhau...
giữa LIKE và LOVE chữ cái I đã chuyển thành O,tức là Important:quan trọng đã trở thành Only:duy nhất.
chữ cái K đã chuyển thành V:Keen:say mê đã trở thành Vascurla :ăn vào mạch máu.
vì thế đừng hỏi tại sao
lim(LIKE)=LOVE nhưng lim(LOVE) =∞
Có vẻ như $\frac{1}{4}$ chưa phải hằng số tốt nhất.
Bình phương lên, điều phải chứng minh tương đương.
$$4\prod(a-b)^2 (ab+bc+ca)^2 \leq \prod (a+b)^2 (\sum a^2-bc)^2$$
Bất đẳng thức này tương đương với
\[\prod (a+b) \sum (a^2-bc) \geqslant 2(ab+bc+ca)\prod(|a-b|).\]
Ta có
\[\prod (a+b) \sum (a^2-bc) - 2(ab+bc+ca)\prod(a-b) = \sum b(b+c)(c+a)(a-b)^2 \geqslant 0,\]
và
\[\prod (a+b) \sum (a^2-bc) + 2(ab+bc+ca)\prod(a-b) = \sum a(b+c)(c+a)(a-b)^2 \geqslant 0.\]
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 29-01-2017 - 16:29
Hằng số tốt nhất cho bất đẳng thức này khá xấu và có thể tìm bằng dồn biến toàn miền.Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\left | \frac{a^{3}-b^{3}}{a+b}+\frac{b^{3}-c^{3}}{b+c}+\frac{c^{3}-a^{3}}{c+a} \right |\leqslant \frac{1}{4}\left [(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2} \right ]$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 06-02-2017 - 19:31
Hằng số tốt nhất cho bất đẳng thức này khá xấu và có thể tìm bằng dồn biến toàn miền.
Cho $$a=0,b=2,c=1+ \sqrt{3}+\sqrt{2} \cdot 3^\frac{1}{4}$$ thì $k \geq \sqrt{\dfrac{2 \cdot \sqrt{3}-9}{9}}$
Đây là bài bất trong đề VMEO IV.
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh