Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Hình ảnh

Tuần 4 tháng 1 năm 2017 : $JL\perp ON$

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 408 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 22-01-2017 - 20:23

Như vậy thầy Hùng đã đưa ra lời giải bài cũ trong tuần 4 tháng 1 và kèm theo đó là bài toán mới, xin trích dẫn lại bài toán mới,

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, tâm bàng tiếp góc $A$ là $J$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC$, $CA$, $AB$ tại $D$, $E$, $F$. $K$ là hình chiếu của $D$ trên $EF$. $AK$ cắt $(O)$ tại $L$ khác $A$. Tiếp tuyến qua $A$ của $(O)$ cắt $BC$ tại $T$. Trên trung trực $AL$ lấy $P$ sao cho $TP\parallel AI$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $JL$, $MP$. Chứng minh rằng $JL\perp ON$.



#2 Nguyen Dinh Hoang

Nguyen Dinh Hoang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K44 Trường THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:hình học, giải tích

Đã gửi 22-01-2017 - 20:25

Lời giải: 

Gọi $V$ là điểm chính giữa cung $BC$ nhỏ của $(O)$

Ta chứng minh $\measuredangle DLV$ $=$ $90^{\circ}$: $EF$ cắt $BC$ tại $Z$ thì $\measuredangle ZKD = 90$ mà $(ZD,BC) = 90$ nên $LD$ là đi qua điểm chính giữa cung $BC$ lớn của $(O)$ nên $\measuredangle DLV$ $= 90$

+, Chứng minh $P$ là tâm của $AIDL$$ do $DI$ $//$ $OV$ nên  \measuredangle DIV = \measuredangle IVO= \measuredangle ALD$ nên $AIDL$ nội tiếp. Gọi $U$ là giao của trung trực $AL$ với $DL$ ta có $\measuredangle UPT = 90 - \measuredangle DGO = \measuredangle UDC$ ($G$ là điểm chính giữa cung $BC$ lớn của $(O)$ nên $PTDU$ nội tiếp. Lại có $\measuredangle AUP = \measuredangle PUL = 180 - \measuredangle PTD = \measuredangle AYT= \measuredangle TAY = \measuredangle PTA$ nên $PTDUA$ nội tiếp nên $P$ thuộc trung trực $AD$ mà $P$ thuộc trung trực $AL$ nên $P$ là tâm của $AIDL$ Gọi $W$ là điểm đối xứng của $P$ qua $(O)$ theo tính chất đường trung bình thì ta cần chứng minh $W$ là tâm của $ALJ$ 

Thật vậy ta có: Gọi $R1$, $R2$ thứ tự là trung điểm $AI$, $AJ$ thì xét phép vị tự tâm $A$ tỉ số 2 ta có $OR1$ $=$ $OR2$. Ta chứng minh $WR2$ vuông góc $AJ$ hay $WR2$ $//$ $PR1$. Gọi $R3$ là đối xứng của $R1$ qua $(O)$ ta có $R2R3$ vuông góc $AI$ mà 2 tg $OR3W$ $=$ $OR1P$ nên $WR3$ $//$ $PR1$ nên $WR2$ $//$ $PR1$ hay ta có $dpcm$

Hình gửi kèm

  • hh.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Dinh Hoang: 22-01-2017 - 21:08


#3 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hòa bình
  • Sở thích:ăn mì tôm

Đã gửi 22-01-2017 - 21:00

Lời giải của em cũng có điểm tương đồng với bạn Nguyen Dinh Hoang :

+) đầu tiên em chứng minh : $(ALDI)$ nội tiếp có tâm $P$

Thật vậy : gọi $X,Y$ là trung điểm cung lớn và nhỏ $BC$ , ta sẽ chứng minh $DL$ đy qua $X$ . TA có : $\Delta AEF \sim \Delta XBC$

và $\frac{FK}{KE}=\frac{BD}{CD}$ nên $\widehat{FAK}= \widehat{BXD}$ suy ra  $L$ thuộc $DX$ suy ra$\widehat{ALD}= \widehat{AYX}=\widehat{DIY}$ suy ra $ALDI$ nội tiếp

Lấy phân giác trong và phân giác ngoài $AZ,AU$ , dễ thấy $T$ là trung điểm $ZU$ và  tâm của $(UAID)$ là trung điểm $UI$  , từ đó suy ra $P$ là tâm $(ALDI)$

+)Tiếp theo ta sẽ chứng minh $LJ$ là trục đẳng phương của $(O)$ và $(N,NL)$

Gọi $LJ$ cắt $(O),(AID)$ tại $Q,G$ , ta đy chứng minh $Q$ thuộc  $(N,NL)$ .dễ thấy $(N,NL)$ là đường tròn đẳng phương của $(M,ML)$ và $(AID)$ nên để chứng minh $Q$ thuộc  $(N,NL)$  thì ta chứng minh $Q$ là trung điểm của $GJ$

Điều đó cũng tương đương với việc chứng minh $Q$ thuộc đường tròn đẳng phương của $(ALJ),(AID)$ , tức là chứng minh $(O)$ là đường tròn đẳng phương của $(ALJ),(AID)$ . điều này đúng do$\overline{YJ}.\overline{YA}=-\overline{YI}.\overline{YA}$ nên  $(O)$ là đường tròn đẳng phương của $(ALJ),(AID)$ ,nên ta có dpcm

  f22222222222222s.jpg



#4 manhtuan00

manhtuan00

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 27 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Hình học, số học, phương trình hàm, tổ hợp

Đã gửi 22-01-2017 - 22:05

Gọi $W,R$ lần lượt là chân đường phân giác trong, chân đường phân giác ngoài góc $\angle A$. $T$ là chân tiếp tuyến tại $A$ nên $T$ là trung điểm $RW$.

Ta sẽ chứng minh $A,I,D,L$ đồng viên

Thật vậy, Gọi $S,Z$ là trung điểm cung lớn, cung nhỏ $BC$. 

Gọi $U$ là giao điểm của $(AEIF)$ với $(O)$. $X$ là giao của $EF$ với $BC$

Theo 1 tính chất quen thuộc thì $UD$ là phân giác $\angle BUC$ nên $U,D,Z$ thẳng hàng

$(XD,BC) = -1$ nên $UX$ là phân giác ngoài $\angle BUC$ nên $UX$ đi qua $S \implies D$ là trực tâm $\triangle SXZ$ nên $XZ \perp DS$

Từ đây ta có $D,L,S$ thẳng hàng nên $\angle LAI = \angle LSZ = \angle IDS$ nên $A,I,D,L$ đồng viên

Gọi $P'$ là tâm $ADIL$. Do $A,D,I,R$ đồng viên nên $A,D,I,R,L$ đồng viên nên $P'$ là trung điểm $IR$ 

$\implies TP' \parallel AI$ nên $p' \equiv P$ tức là $P$ là tâm $(ARLDI)$

Gọi $Z'$ đối xứng $Z$ qua $N$ thì $Z'PZM$ là hình bình hành nên $PZ' = ZM = \frac{IL}{2} \implies Z'$ là trung điểm $RL$

Gọi $V$ là trung điểm $RS$. Ta có $\angle VRZ' = \angle RIZ$ và $\angle RVZ' = \angle RSL = \angle AZL$ nên $\triangle RZ'V \sim \triangle ILZ$

Từ đây ta có $\frac{RZ'}{RV}= \frac{IL}{IZ} \implies  \frac{RZ'}{RS}= \frac{IL}{IJ}$ nên $\triangle ILJ \sim \triangle RSZ'$. Từ đây có $\angle RSZ' = \angle AJL$ mà $AJ \perp SR$ nên $LJ \perp SZ'$

$ON \parallel SZ'$ do là đường trung bình nên $ON \perp LJ$  $\square$

Hình gửi kèm

  • Untitled.png


#5 babystudymaths

babystudymaths

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 10 THPT chuyên Hùng Vương
  • Sở thích:Hình học, Tổ hợp, Số học, xem và nghe nhiều thứ

Đã gửi 22-01-2017 - 23:33

Do trong lời giải của mọi người đều đã chứng minh P là tâm của AIDL nên em ko chứng minh lại:

Đoạn còn lại là một hướng chứng minh khác cho đoạn sau của Nguyen Dinh Hoang

    geogebra-export.png

Gọi J' đối xứng với J qua O, A' đối xứng với A qua O => AJ'A'J là hình bình hành 

=>AJ' = A'J và A'J'// AJ => AI // A'J' (1) .

Gọi IJ cắt (O) tại U khác A thì U là trung điểm IJ, mà $A'U \perp IJ$ => A'I = A'J => AJ'= IA' (2)

Từ (1) và (2) => AIA'J' là hình thang cân. Mà P là trung trực AI => P là trung trực A'J'.

 Lấy P' đối xứng P qua O => P' là trung trực AJ, mà P' là trung trực AL=> P' là trung trực LM =>$P'M \perp LJ, mà P'M // ON => LJ \perp ON$


TLongHV


#6 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 612 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 24-01-2017 - 23:59

Cám ơn các em đã đóng góp các lời giải thú vị. Bài toán này bản chất thầy tạo ra từ đối xứng tâm $O$. Thầy cũng đã phát hiện một mở rộng thú vị cho bài toán này. Hãy đón đọc vào tuần tới nhé.







0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh