Đến nội dung


Hình ảnh

Tuần 4 tháng 1 năm 2017 : $JL\perp ON$

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 22-01-2017 - 20:23

Như vậy thầy Hùng đã đưa ra lời giải bài cũ trong tuần 4 tháng 1 và kèm theo đó là bài toán mới, xin trích dẫn lại bài toán mới,

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, tâm bàng tiếp góc $A$ là $J$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC$, $CA$, $AB$ tại $D$, $E$, $F$. $K$ là hình chiếu của $D$ trên $EF$. $AK$ cắt $(O)$ tại $L$ khác $A$. Tiếp tuyến qua $A$ của $(O)$ cắt $BC$ tại $T$. Trên trung trực $AL$ lấy $P$ sao cho $TP\parallel AI$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $JL$, $MP$. Chứng minh rằng $JL\perp ON$.



#2 Nguyen Dinh Hoang

Nguyen Dinh Hoang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K44 Trường THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:hình học, giải tích

Đã gửi 22-01-2017 - 20:25

Lời giải: 

Gọi $V$ là điểm chính giữa cung $BC$ nhỏ của $(O)$

Ta chứng minh $\measuredangle DLV$ $=$ $90^{\circ}$: $EF$ cắt $BC$ tại $Z$ thì $\measuredangle ZKD = 90$ mà $(ZD,BC) = 90$ nên $LD$ là đi qua điểm chính giữa cung $BC$ lớn của $(O)$ nên $\measuredangle DLV$ $= 90$

+, Chứng minh $P$ là tâm của $AIDL$$ do $DI$ $//$ $OV$ nên  \measuredangle DIV = \measuredangle IVO= \measuredangle ALD$ nên $AIDL$ nội tiếp. Gọi $U$ là giao của trung trực $AL$ với $DL$ ta có $\measuredangle UPT = 90 - \measuredangle DGO = \measuredangle UDC$ ($G$ là điểm chính giữa cung $BC$ lớn của $(O)$ nên $PTDU$ nội tiếp. Lại có $\measuredangle AUP = \measuredangle PUL = 180 - \measuredangle PTD = \measuredangle AYT= \measuredangle TAY = \measuredangle PTA$ nên $PTDUA$ nội tiếp nên $P$ thuộc trung trực $AD$ mà $P$ thuộc trung trực $AL$ nên $P$ là tâm của $AIDL$ Gọi $W$ là điểm đối xứng của $P$ qua $(O)$ theo tính chất đường trung bình thì ta cần chứng minh $W$ là tâm của $ALJ$ 

Thật vậy ta có: Gọi $R1$, $R2$ thứ tự là trung điểm $AI$, $AJ$ thì xét phép vị tự tâm $A$ tỉ số 2 ta có $OR1$ $=$ $OR2$. Ta chứng minh $WR2$ vuông góc $AJ$ hay $WR2$ $//$ $PR1$. Gọi $R3$ là đối xứng của $R1$ qua $(O)$ ta có $R2R3$ vuông góc $AI$ mà 2 tg $OR3W$ $=$ $OR1P$ nên $WR3$ $//$ $PR1$ nên $WR2$ $//$ $PR1$ hay ta có $dpcm$

Hình gửi kèm

  • hh.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Dinh Hoang: 22-01-2017 - 21:08


#3 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 163 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hoàng Văn Thụ - Hòa bình
  • Sở thích:Hình , Dragonball

Đã gửi 22-01-2017 - 21:00

Lời giải của em cũng có điểm tương đồng với bạn Nguyen Dinh Hoang :

+) đầu tiên em chứng minh : $(ALDI)$ nội tiếp có tâm $P$

Thật vậy : gọi $X,Y$ là trung điểm cung lớn và nhỏ $BC$ , ta sẽ chứng minh $DL$ đy qua $X$ . TA có : $\Delta AEF \sim \Delta XBC$

và $\frac{FK}{KE}=\frac{BD}{CD}$ nên $\widehat{FAK}= \widehat{BXD}$ suy ra  $L$ thuộc $DX$ suy ra$\widehat{ALD}= \widehat{AYX}=\widehat{DIY}$ suy ra $ALDI$ nội tiếp

Lấy phân giác trong và phân giác ngoài $AZ,AU$ , dễ thấy $T$ là trung điểm $ZU$ và  tâm của $(UAID)$ là trung điểm $UI$  , từ đó suy ra $P$ là tâm $(ALDI)$

+)Tiếp theo ta sẽ chứng minh $LJ$ là trục đẳng phương của $(O)$ và $(N,NL)$

Gọi $LJ$ cắt $(O),(AID)$ tại $Q,G$ , ta đy chứng minh $Q$ thuộc  $(N,NL)$ .dễ thấy $(N,NL)$ là đường tròn đẳng phương của $(M,ML)$ và $(AID)$ nên để chứng minh $Q$ thuộc  $(N,NL)$  thì ta chứng minh $Q$ là trung điểm của $GJ$

Điều đó cũng tương đương với việc chứng minh $Q$ thuộc đường tròn đẳng phương của $(ALJ),(AID)$ , tức là chứng minh $(O)$ là đường tròn đẳng phương của $(ALJ),(AID)$ . điều này đúng do$\overline{YJ}.\overline{YA}=-\overline{YI}.\overline{YA}$ nên  $(O)$ là đường tròn đẳng phương của $(ALJ),(AID)$ ,nên ta có dpcm

  f22222222222222s.jpg



#4 manhtuan00

manhtuan00

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên

Đã gửi 22-01-2017 - 22:05

Gọi $W,R$ lần lượt là chân đường phân giác trong, chân đường phân giác ngoài góc $\angle A$. $T$ là chân tiếp tuyến tại $A$ nên $T$ là trung điểm $RW$.

Ta sẽ chứng minh $A,I,D,L$ đồng viên

Thật vậy, Gọi $S,Z$ là trung điểm cung lớn, cung nhỏ $BC$. 

Gọi $U$ là giao điểm của $(AEIF)$ với $(O)$. $X$ là giao của $EF$ với $BC$

Theo 1 tính chất quen thuộc thì $UD$ là phân giác $\angle BUC$ nên $U,D,Z$ thẳng hàng

$(XD,BC) = -1$ nên $UX$ là phân giác ngoài $\angle BUC$ nên $UX$ đi qua $S \implies D$ là trực tâm $\triangle SXZ$ nên $XZ \perp DS$

Từ đây ta có $D,L,S$ thẳng hàng nên $\angle LAI = \angle LSZ = \angle IDS$ nên $A,I,D,L$ đồng viên

Gọi $P'$ là tâm $ADIL$. Do $A,D,I,R$ đồng viên nên $A,D,I,R,L$ đồng viên nên $P'$ là trung điểm $IR$ 

$\implies TP' \parallel AI$ nên $p' \equiv P$ tức là $P$ là tâm $(ARLDI)$

Gọi $Z'$ đối xứng $Z$ qua $N$ thì $Z'PZM$ là hình bình hành nên $PZ' = ZM = \frac{IL}{2} \implies Z'$ là trung điểm $RL$

Gọi $V$ là trung điểm $RS$. Ta có $\angle VRZ' = \angle RIZ$ và $\angle RVZ' = \angle RSL = \angle AZL$ nên $\triangle RZ'V \sim \triangle ILZ$

Từ đây ta có $\frac{RZ'}{RV}= \frac{IL}{IZ} \implies  \frac{RZ'}{RS}= \frac{IL}{IJ}$ nên $\triangle ILJ \sim \triangle RSZ'$. Từ đây có $\angle RSZ' = \angle AJL$ mà $AJ \perp SR$ nên $LJ \perp SZ'$

$ON \parallel SZ'$ do là đường trung bình nên $ON \perp LJ$  $\square$

Hình gửi kèm

  • Untitled.png


#5 babystudymaths

babystudymaths

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 10 THPT chuyên Hùng Vương
  • Sở thích:Hình học, Tổ hợp, Số học, xem và nghe nhiều thứ

Đã gửi 22-01-2017 - 23:33

Do trong lời giải của mọi người đều đã chứng minh P là tâm của AIDL nên em ko chứng minh lại:

Đoạn còn lại là một hướng chứng minh khác cho đoạn sau của Nguyen Dinh Hoang

    geogebra-export.png

Gọi J' đối xứng với J qua O, A' đối xứng với A qua O => AJ'A'J là hình bình hành 

=>AJ' = A'J và A'J'// AJ => AI // A'J' (1) .

Gọi IJ cắt (O) tại U khác A thì U là trung điểm IJ, mà $A'U \perp IJ$ => A'I = A'J => AJ'= IA' (2)

Từ (1) và (2) => AIA'J' là hình thang cân. Mà P là trung trực AI => P là trung trực A'J'.

 Lấy P' đối xứng P qua O => P' là trung trực AJ, mà P' là trung trực AL=> P' là trung trực LM =>$P'M \perp LJ, mà P'M // ON => LJ \perp ON$


TLongHV


#6 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 24-01-2017 - 23:59

Cám ơn các em đã đóng góp các lời giải thú vị. Bài toán này bản chất thầy tạo ra từ đối xứng tâm $O$. Thầy cũng đã phát hiện một mở rộng thú vị cho bài toán này. Hãy đón đọc vào tuần tới nhé.







0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh