Cho $a;b;c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng: $\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\sqrt[3]{abc}\geq \frac{10}{9(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$
$\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\sqrt[3]{abc}\geq \frac{10}{9(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$
Bắt đầu bởi trungdung19122002, 23-01-2017 - 16:53
bất đẳng thứcinequality
#2
Đã gửi 23-01-2017 - 18:18
PlanBbyFESN
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 637 Bài viết
Thiếu úy
Cho $a;b;c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng: $\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\sqrt[3]{abc}\geq \frac{10}{9(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$
Am-Gm:
$\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{c}{b}\geq 3\sqrt[3]{\frac{c^{2}}{ab}}=\frac{3c}{\sqrt[3]{abc}}$
............... $\Rightarrow \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}=\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}$
$\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\sqrt[3]{abc}=\frac{8}{9\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{9\sqrt[3]{abc}}+\sqrt[3]{abc}\geq \frac{8}{9.(\frac{a+b+c}{3})}+1\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{10}{3}$
$\frac{10}{9(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\leq \frac{10}{9(\frac{(a+b+c)^2}{3})}=\frac{10}{3}$
....
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
