Chủ đề này có 1 trả lời

[NTMFlashNo1]

Chứng minh: Với mọi $n$ nguyên dương phương trình :

$7x^{2}+y^{2}=2^{n+2}$

luôn có nghiệm nguyên dương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTMFlashNo1: 24-01-2017 - 09:35

[IHateMath]

Bài này còn có một phiên bản khác khó hơn là:

(Moscow 1985): Chứng minh rằng với mỗi số nguyên $n\geq 3$, phương trình $7x^2+y^2=2^{n}$ luôn có nghiệm $x,y$ lẻ.

Lời giải bài toán trên rất kinh điển, như sau:

Với $n=3$ phương trình có nghiệm $(1,1)$. Giả sử phương trình có nghiệm $x,y$ đều lẻ với $n$. Khi đó xét các cặp số $\left( \frac{x-y}{2} ,\frac{7x+y}{2}\right) ,\left( \frac{x+y}{2} ,\frac{7x-y}{2} \right)$. Dễ kiểm tra được cả hai đều là nghiệm của phương trình với $n+1$. Hơn nữa ta có $\frac{x-y}{2} + \frac{x+y}{2}=x$ là số lẻ, do đó một trong hai số phải là số chẵn, kéo theo số còn lại trong cặp cũng số lẻ. vậy phương trình có nghiệm lẻ với $n+1$. Bằng quy nạp ta suy ra đpcm. $\square$

Một bài toán khác rất giống (và cách giải cũng vậy)

(VMO 2010): Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên $n$, phương trình $x^2+15y^2=4^n$ có ít nhất $n$ nghiệm tự nhiên. 

Bằng số phức, người ta còn chỉ ra được phương trình trên có đúng $n$ nghiệm.