Chủ đề này có 1 trả lời

[Dark Repulsor]

Cho $2$ dãy số $(a_{n})$, $(b_{n})$ ko âm và số thực $q\in (0;1)$ thỏa mãn $a_{n+1}\leq qa_{n}+b_{n}$ $\forall n\in\mathbb{N^{*}}$ với $\lim_{n\rightarrow +\infty} b_{n}=0$ . CMR: $\lim_{n\rightarrow +\infty} a_{n}=0$ 

[An Infinitesimal]

Cho $2$ dãy số $(a_{n})$, $(b_{n})$ ko âm và số thực $q\in (0;1)$ thỏa mãn $a_{n+1}\leq qa_{n}+b_{n}$ $\forall n\in\mathbb{N^{*}}$ với $\lim_{n\rightarrow +\infty} b_{n}=0$ . CMR: $\lim_{n\rightarrow +\infty} a_{n}=0$ 

Vì dãy $ \{b_n\} $ bị chặn nên theo giả thiết, ta có $ \{a_n\} $ bị chặn. Ta giả sử $ A $ là một chặn trên của $ \{a_n\}. $

 

Với $ \epsilon>0 $, ta chọn $ \epsilon'>0: \epsilon'  \left(A+\frac{1}{1-q}\right)\le \epsilon $. Khi đó,  vì $\lim  b_{n}=0=\lim q^{n}$ nên tồn tại $ N_{\epsilon'}\in \mathbb{N}: b_m \le \epsilon',\, q^{m} \le \epsilon'\, \forall m \ge N_{\epsilon'}. $ 

 

Với mỗi $ n\ge 2N_{\epsilon'}$,   ta có 

 

 

$a_{n}\le q^{N_{\epsilon'}}a_{n-N_{\epsilon'}}+\sum_{k=0}^{N_{\epsilon'}-1}q^kb_{n-k}$

         $\le  \epsilon' A+\sum_{k=0}^{N_{\epsilon'}-1}q^k\epsilon'$

         $\le  \epsilon' A+\sum_{k=0}^{\infty}q^k\epsilon'\le \epsilon.$

Điều đó có nghĩa $ \lim\limits_{n\to\infty}a_n=0. $

 

P.S: Các chỉ số khá nguy hiểm, có thể các chỉ số có thể có nhầm lẫn.