Chủ đề này có 1 trả lời

[legendary]

Cho 3 số a, b, c thỏa mãn $0\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c=3$.; Chứng minh rằng $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 9$

[tritanngo99]

Cho 3 số a, b, c thỏa mãn $0\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c=3$.; Chứng minh rằng $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 9$

Ta có: $\sum a^3=(\sum a)^3-3\prod{(a+b)}=27-3\prod{(a+b)}$.

Lại có: $\prod{(a+b)}=\prod{(3-a)}=3\sum ab-abc$.

Do $a,b,c\in [0;2]\implies \prod{(a-2)}\le 0\iff abc\le 2\sum ab-4$.

$\implies \prod{(3-a)}\ge \sum ab+4\implies \sum a^3\le 15-3\sum ab$.

Nhận thấy rằng: Trong ba số $a-1,b-1,c-1$ tồn tại hai số cùng dấu. 

KMTTQ, giả sử: $(a-1)(b-1)\ge 0\implies ab\ge a+b-1$.

Khi đó: $ab+bc+ca=ab+c(a+b)\ge a+b-1+c(3-c)=(3-c)-1+c(3-c)=2+c(2-c)\ge 2$.

$\implies \sum a^3\le 15-3*2=9\implies Q.E.D$.

Dấu $=$ xảy ra tại $(a;b;c)=(2;1;0)$ và các hoán vị.