Chủ đề này có 6 trả lời

[Nguyenhuyen_AG]

Cho số thực $x$ bất kỳ. Chứng minh rằng \[x^4 + x + \frac{1}{2} > 0.\]

P/s. Dạo này thấy thích bất đẳng thức một biến, đơn giản, dễ chơi, dễ trúng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 24-01-2017 - 19:40

[yeutoan2001]

$(x^{2}-\frac{1}{2})^{2}+(x+\frac{1}{2})^{2}$

[Nguyenhuyen_AG]

$(x^{2}-\frac{1}{2})^{2}+(x+\frac{1}{2})^{2}$

Phân tích của bạn ngắn gọn thật. Đây là phân tích của mình

\[\frac12 x^2(x+1)^2+\frac12 (x^2-x-1)^2.\]

Bài tiếp. Cho số thực dương $x$ bất kỳ. Chứng minh rằng

\[4x^5-14x^4+18x^3-9x^2+1 \geqslant 0.\]

[yeutoan2001]

Phân tích của bạn ngắn gọn thật. Đây là phân tích của mình

\[\frac12 x^2(x+1)^2+\frac12 (x^2-x-1)^2.\]

Bài tiếp. Cho số thực dương $x$ bất kỳ. Chứng minh rằng

\[4x^5-14x^4+18x^3-9x^2+1 \geqslant 0.\]

$(x-1)^{2}(4x^{3}-6x^{2}+2x+1)\geq 0$

       Có $x^{3}+x^{3}+1\geq 3x^{2} ; 2x^{3}+2x\geq 4x^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan2001: 24-01-2017 - 21:45

[Nguyenhuyen_AG]

Bài trên chính là câu bất đẳng thức trong đề thi Romania TST 2006 sau khi thực hiện xong bước dồn biến.

 

Cho số thực $0 < x < 1.$ Chứng minh rằng

\[3+36t^2+6t^3 \geqslant 20t(t^3+1).\]

[PlanBbyFESN]

Cho số thực $0 < t < 1.$ Chứng minh rằng

\[3+36t^2+6t^3 \geqslant 20t(t^3+1).\]

 

$3+36t^2+6t^3 \geqslant 20t(t^3+1)\Leftrightarrow \left [2+26t^{2}+6t^{3}-20t^{4}-14t \right ]+\left [ 10t^{2}+1-6t \right ]\geq 0$

 

$\Leftrightarrow 2(1-t)(10t^{3}+7t^{2}-6t+1)+t^{2}+(3t-1)^{2}\geq 0$

 

Đúng vì $10t^{3}+7t^{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\geq 5\sqrt[5]{\frac{70}{27}}.t\approx 6.04946t> 6t> 0$

[Nguyenhuyen_AG]

$3+36t^2+6t^3 \geqslant 20t(t^3+1)\Leftrightarrow \left [2+26t^{2}+6t^{3}-20t^{4}-14t \right ]+\left [ 10t^{2}+1-6t \right ]\geq 0$

 

$\Leftrightarrow 2(1-t)(10t^{3}+7t^{2}-6t+1)+t^{2}+(3t-1)^{2}\geq 0$

 

Đúng vì $10t^{3}+7t^{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\geq 5\sqrt[5]{\frac{70}{27}}.t\approx 6.04946t> 6t> 0$

 

Lời giải của bạn rất đẹp. Ngoài ra ta còn có

\[10t^{3}+7t^{2}-6t+1 = \frac13(4t-1)^2+\frac{11}{75}(5t-2)^2+\frac{2}{25}(5t+1)(5t-1)^2 \geqslant 0.\]

Bài này được tìm thấy trong quá trình chứng minh bất đẳng thức khá khó sau đây của Michale Rozenberg

Bài toán. Cho ba số thực dương $a,\,b,\,c$ thỏa mãn điều kiện $abc = 1.$ Chứng minh rằng
\[\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[10]{\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}}.\]

Bạn nào quan tâm có thể xem ở bài 18 trong tài liệu này.

 

Cho số thực $x \geqslant 0.$ Chứng minh rằng

\[x^5+27x^3+24 \geqslant 9x^4+20x^2+21x.\]