Chủ đề này có 16 trả lời

[I Love MC]

Qua trao đổi với anh Zaraki thì mình xin mở TOPIC này . 
Mục đích của TOPIC này là trau dồi kiến thức số học,tạo ra sân chơi cho các bạn vào dịp tết và hơn nữa thì chuẩn bị hành trang cho những kì thi học sinh giỏi sắp tới. 
Marathon số học THCS cũng như Marathon số học Olympic vậy . Cụ thể như sau : 
  Khi bạn giải đúng được bài toán hiện có thì bạn có thể đăng lên tại đây và mình sẽ cộng thêm cho các bạn một điểm, và các bạn có quyền được đề xuất bài toán mới. Như vậy ai giải thì người đó sẽ có quyền đề xuất, trừ khi bạn không biết đề xuất bài nào thì bạn có thể nhờ hỗ trợ.  

Và một số quy định yêu cầu các bạn tuân thủ:

1. Chỉ cho phép các bài toán trong phạm vi số học
2. Ghi nguồn bài toán rõ ràng
3. Không được phép giải bài toán của chính mình đề xuất, không được phép đề xuất các bài toán trong các cuộc thi chưa kết thúc (ví dụ như tạp chí toán học & tuổi trẻ,...)
4. Không được spam, lời giải rõ ràng, cụ thể.
5. Khi bạn giải bài toán thứ nn thì bạn đề xuất luôn bài toán thứ n+1n+1 (đánh đúng số thứ tự). Sau đây là mẫu:
   Lời giải bài nn. ABCXYZ
   Bài toán n+1n+1. (Nguồn) Cho ba số a,b,ca,b,c. Chứng minh rằng 3∣abc3∣abc.
6. Lưu ý không đăng các bài toán mở, các giả thuyết, ...
7. Nếu một bài toán trong vòng 37 ngày chưa ai giải được thì sẽ được đánh dấu lại và mình sẽ đăng bài toán tiếp theo. Bất cứ lúc nào bạn muốn đề xuất lời giải cho bài chưa được giải cũng được và sẽ được cộng hai điểm nếu như lời giải đúng. Ngoài ra nếu các bạn nghĩ mình có lời giải hay hơn của bạn trước tiên giải bài nào đó thì xin cứ đăng (sẽ chỉ cộng điểm cho bạn làm đúng và nhanh nhất), như vậy sẽ học hỏi lẫn nhau được nhiều hơn.
   Ngoài ra, trước khi hết hạn 24 ngày của một bài toán chưa được giải thì mong các bạn không đề xuất bài toán mới.
8. Yêu cầu các bài toán có độ khó nhất định, phải suy nghĩ mới làm được.
9. Yêu cầu tuân thủ các quy định. Bài viết nào có tính chất spam sẽ bị xóa đi hoặc lời giải đúng nhưng không rõ ràng, lan man sẽ chỉ nhận được 

0,50,5 điểm.

Khuyến khích mọi người tự đưa lời giải của chính mình thay vì lời giải của người khác hoặc dẫn link lời giải. 
 

[I Love MC]

Bài toán 1 : Cho $x,y,p$ là các số nguyên và $p>1$ sao cho $p|x^{2016},p|y^{2017}$. Chứng minh rằng $B=1+x+y$ không chia hết cho $p$ 
 

[yeutoan2001]

Bài toán 1 : Cho $x,y,p$ là các số nguyên và $p>1$ sao cho $p|x^{2016},p|y^{2017}$. Chứng minh rằng $B=1+x+y$ không chia hết cho $p$ 
 

       Gọi l là ước nguyên tố bất kì của p

            $x+y+1\vdots l$ => $1\vdots l   vì  x\vdots l,y\vdots l$

 -> ĐPCM

[Phan Tien Ngoc]

Bài toán 2 : Tìm mọi cặp số nguyên dương x , y sao cho $\frac{x^4+2}{x^2y+1}$ là số nguyên dương .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phan Tien Ngoc: 24-01-2017 - 21:59

[tpdtthltvp]

Bài toán 2 : Tìm mọi cặp số nguyên dương x , y sao cho $\frac{x^4+2}{x^2y+1}$ là số nguyên dương .

Ta có: $x^4+2\vdots x^2y+1\Rightarrow x^4y+2y\vdots x^2y+1\Rightarrow x^2(x^2y+1)+2y-x^2\vdots x^2y+1\Rightarrow x^2-2y\vdots x^2y+1.$ Xét $3$ trường hợp:

$+)TH1:x^2=2y\Rightarrow (x,y)=(2k^2,2k)(k\in \mathbb{Z}_+)$

$+)TH2:x^2>2y\Rightarrow x^2-2y\geq x^2y+1\Leftrightarrow (x^2+2)(y-1)\leq -3\Rightarrow y=1\Rightarrow x^4+2\vdots x^2+1\Rightarrow 3\vdots x^2+1(L)$

$+)TH3:x^2<2y\Rightarrow 2y-x^2\geq x^2y+1\Leftrightarrow (2-x^2)(y+1)\geq 3\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=1\Rightarrow y=2$

Vậy $\left ( x,y \right )\in \left \{ (1;2);(2k^2;2k) \right \}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 24-01-2017 - 22:24

[Phan Tien Ngoc]

Bài toán 3 : Tìm tất cả nghiệm nguyên dương của phương trình 

$x^y+y^z+z^x=2(x+y+z)$

[tpdtthltvp]

Bài toán 3 : Tìm tất cả nghiệm nguyên dương của phương trình 

$x^y+y^z+z^x=2(x+y+z)$

Giả sử cả $3$ số đều lớn hơn $1$ thì $x^y+y^z+z^x\geq x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}\geq 2(x+y+z)(\text{vì }x+y+z\geq 6).$ Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=z=2.$

 Xét trường hợp có $1$ số là $1$, giả sử $x=1$ thì $y^z=1+2y+z.$ Dễ thấy $y\geq 2.$ Ta sẽ chứng minh với $y,z\in \mathbb{Z}_+,y\geq 2$ thì $y^z>1+2y+z(1).$ Thật vậy, giả sử $(1)$ đúng với $z=k$ thì $y^k>1+2y+k.$ Với $z=k+1,(1)\Leftrightarrow y^{k+1}>2+2y+k(2)$

Ta có $VT(2)>y(1+2y+k)=2y^2+yk+y.$ Mà $2y^2+yk+y>2+2y+k\Leftrightarrow 2(2y-1)+k(y-1)>2, \text{đúng}.$

Vậy $\left ( x,y,z \right )=\left ( 2,2,2 \right )$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 24-01-2017 - 23:10

[tpdtthltvp]

Bài toán 4 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $$x^2+y^2+z^2=x^2y^2$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 24-01-2017 - 23:34

[NTMFlashNo1]

Bài toán 4 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $$x^2+y^2+z^2=x^2y^2$$

Dễ thấy phương trình có nghiệm $(x,y,z)=(0,0,0)$.

Ta sẽ chứng minh đây là nghiệm duy nhất của phương trình:

phương trình trên tương đương với:

$\left ( x^{2}-1 \right )\left ( y^{2}-1 \right )=z^{2}+1$

Ta có:$x^{2}\equiv 0,1\left ( mod4 \right )$

Do đó;$x^{2}-1$ chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 3

Nếu $x^{2}-1\equiv 0\left ( mod4 \right )$

$\Rightarrow 4|\left ( z^{2}+1 \right )$ (vô lý)

Nếu $x^{2}-1\equiv 3\left ( mod4 \right )$

Thì nó sẽ có ước nguyên tố dạng $4k+3$ $k\in \mathbb{N}$

Do đó:$4k+3|z^{2}+1$

$\Rightarrow 4k+3|1$ (vô lý)

Vậy nghiệm của phương trình là:$(0,0,0)$

[NTMFlashNo1]

Bài toán 5:

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

$(x-1)^{2}+x^{2}+(x+1)^{2}=y^{2}+(y+1)^{2}$

[yeutoan2001]

Bài Toán 6:

  Tìm các cặp số nguyên a,b sao cho 

        $\frac{b^{2}+ab+a+b-1}{a^{2}+ab+1}$ là số nguyên

[I Love MC]

 Lời giải bài toán 5 : Phương trình đã cho tương đương với $6x^2+3=(2y+1)^2$ . 
Đặt $k=2y+1 \Rightarrow 3|k \Rightarrow k=3q$ phương trinh $\Leftrightarrow 2x^2+1=3q^2 (1)$ 
Xét $x=q \Rightarrow x=q=1 \Rightarrow x=y=1$ 
Rõ ràng $q<x$ . Đặt $q=x-m,m>0 \Rightarrow (1) \Leftrightarrow 3m^2-6mx+x^2-1=0$ để cho phương trình này có nghiệm nguyên thì $\Delta=12x^2-3=3(2x^2-1)$ là số chính phương (vô lí vì $2x^2-1$ không chia hết cho $3$)
Vậy $x=y=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

[tay du ki]

Bài Toán 6:

  Tìm các cặp số nguyên a,b sao cho 

        $\frac{b^{2}+ab+a+b-1}{a^{2}+ab+1}$ là số nguyên

ta có   $\frac{b^{2}+ab+a+b-1}{a^{2}+ab+1}+1$ là số nguyên

$\Rightarrow \left ( a+b \right )\left ( a+b+1 \right )\vdots a^{2}+ab+1$

Mà gcd $\left ( a+b; a^{2}+ab+1 \right )= 1$

*Nên $\left ( a+b+1 \right )\vdots a^{2}+ab+1$

*Nếu a+b =0 nên a, b thuộc tập Z

*Nếu a+b = 1 : Tự xét 

Nếu a+b khác 0 ;1 

với a>1 hoặc a<-1 

Ta có $\mid a^{2}+ab+1\mid > \mid a+b+1 \mid$ 

Vậy không thỏa mãn 

với a=1;0;-1 các bạn tự xét

[dungxibo123]

Bà​i toán 7: 

tìm tất cả các bộ $(x;y)$ là số thực sao cho $x+y$ là số nguyên và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ là một số nguyên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dungxibo123: 27-01-2017 - 10:47

[tay du ki]

Bà​i toán 7: 

tìm tất cả các bộ $(x;y)$ là số thực sao cho $x+y$ là số nguyên và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ là một số nguyên

Bà​i toán 7: 

Đặt x+y=m ; $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=n ; m,n\epsilon Z$

$\Rightarrow xy= \frac{m}{n}\Rightarrow xyn=m$

thay y=m-x 

Ta có : $x^{2}n-mnx+m = 0$

$\Delta =\left ( mn \right )^{2}-4mn$ 

TH1 : n=0 các bạn tự xét 

TH2 : n khác 0

*Nếu m =0 Tự xét

*Nếu m khác 0

$\Rightarrow x=\frac{mn+\sqrt{\left ( mn \right )^{2}-4mn}}{2n}$ 

Hoặc $x=\frac{-mn+\sqrt{\left ( mn \right )^{2}-4mn}}{2n}$

Khi đó $y= m-\frac{mn+\sqrt{\left ( mn \right )^{2}-4mn}}{2n}$ 

hoặc $y=m-\frac{-mn+\sqrt{\left ( mn \right )^{2}-4mn}}{2n}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tay du ki: 27-01-2017 - 18:06

[Phan Tien Ngoc]

Bài 8 : Hãy tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(x,y,z)$ thõa hệ thức 

$(x+y)(1+xy)=2^z$

[IHateMath]

Lời giải $\color{orange}{\boxed{\text{Bài toán 8}}}$.

 

Vì $2$ là số nguyên tố, nên tồn tại các số nguyên dương $m$ và $n$ sao cho $m+n=z$ và:

$$x+y=2^m,\ 1+xy=2^n.$$

Ta có $(x-1)(y-1)\geq 0\Rightarrow xy+1\geq x+y\Rightarrow n\geq m$.

Ta xét hai trường hợp sau:

$\bullet$ Trường hợp 1: $m=n$

Trong trường hợp này thì $x=y=1,\ z=2$.

$\bullet$ Trường hợp 2: $m<n$

Ta có:

$$(1+x)(1+y)=1+x+y+xy=2^m+2^n=2^m.(1+2^{n-m}).$$

Do $x,\ y$ cùng tính chẵn lẻ, nên từ đẳng thức trên suy ra $x,\ y$ lẻ. Vậy:

$$1+x=2^u.p,\ 1+y=2^v.q$$

trong đó $u,\ v,\ p,\ q$ là các số nguyên dương sao cho $u+v=m,\ pq=1+2^{n-m}$ ($p,\ q$ lẻ).

Giả sử $u,\ v>1$ thì ta có:

$$2^m=x+y=2^u.p+2^v.q-2\Rightarrow 2^{u-1}.p+2^{v-1}.q-1=2^{m-1}.$$

Vì $m=u+v>2$ nên vế phải biểu thức trên chẵn, vế trái lẻ, vô lý. Vậy trong hai số $u,\ v$ phải có đúng một số bằng $1$. Giả sử $u=1$. Khi đó 

$2p+2^{m-1}.q-2=2^m\Rightarrow 2^{m-1}.(q-2)=2-2p.$

Mà $p\geq 1$ nên $q\leq 2$. Vì $q$ lẻ nên $q=1$. Vậy:

$$2.(2^{n-m}+1)+2^{m-1}-2=2^m\Rightarrow 2^{n-m+1}+2^{m-1}=2^m\Rightarrow 2^{n-m+1}=2^{m-1}\Rightarrow n=2(m-1).$$

Vậy:

$$\begin{cases} x=2^{m-1}+ 1 \\ y=2^{m-1}- 1 \end{cases}\ (m>1).$$

Thay vào đẳng thức ban đầu ta thấy thỏa mãn. Vậy các bộ ba $(x,\ y,\ z)$ thỏa mãn là:

$$\boxed{(2^{m-1}\pm 1,\ 2^{m-1}\mp 1,\ 3m-2)\ (m>1)\text{ và } (1,1,2).}\ \square$$

 

P/s: 1. Già rồi mà vẫn vào giải toán dành cho THCS

       2. Các bạn kiểm tra giúp mình xem có lỗi nào không nhé. Mình cảm ơn.

 

Xin đề xuất luôn $\color{orange}{\boxed{\text{Bài toán } 8+1=9}}$:

Cho số nguyên dương $m$ mà $2^{m+1}+1|3^{2^m}+1$.

   a. Chứng minh $2^{m+1}+1$ là số nguyên tố.

   b. Giả sử $x,\ y$ là hai số phân biệt tùy ý lấy từ tập $\{ 2,\ ..., 2^m \}$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho

$$x^{2^n}+y^{2^n}$$

là hợp số.

(Nguồn: Thầy Hà Duy Hưng, ĐHSP Hà Nội)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IHateMath: 30-01-2017 - 22:29