Chủ đề này có 7 trả lời

[legendary]

Bài 1: Biết rằng $x+y=a+b$ và $x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}$. Tính $P=x^{n}+y^{n}$

Bài 2: Biết $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2005$ và $a+b+c=2006$. Tính giá trị biểu thức: $S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}$

Bài 3: Cho a, b, c thỏa mãn: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$ và $a^{3}+b^{3}+c^{3}=2^{9}$. Hãy tính $P=a^{2005}+b^{2005}+c^{2005}$

Bài 4: Cho $a+b+c=0$ và $\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}=2005$. Tính giá trị của biểu thức:

$T=\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}$

Bài 5: Cho a, b dương và $a^{2}-b>0$. CMR: $\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}}$

Bài 6: Cho $x=\frac{1}{3}(\sqrt[3]{\frac{23+\sqrt{513}}{4}}+\sqrt[3]{\frac{23-\sqrt{513}}{4}}-1)$. Tính $A=2x^{2}+2x+1$

Bài 7: CMR: $\frac{1}{6}<\frac{3-\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}}{3-\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}}<\frac{5}{27}$ ( Có n căn ở tử số và n-1 căn ở mẫu số )  

Bài 8: Cho a, b, c, x, y, z là các số dương thỏa mãn $x+y+z=a;x^{2}+y^{2}+z^{2}=b;c^{2}=b+4010$. Tính giá trị của biểu thức:

$M=\sqrt{\frac{(2005+y^{2})(2005+z^{2})}{2005+x^{2}}}+\sqrt{\frac{(2005+x^{2})(2005+z^{2})}{2005+y^{2}}}+\sqrt{\frac{(2005+x^{2})(2005+y^{2})}{2005+z^{2}}}$

Bài 9: Cho các số $a_{1},a_{2},...,a_{2009}$ được xác định theo công thức sau:

$a_{n}=\frac{2}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}$ với $n=1,2,...,2008.$

Chứng minh rằng: $a_{1}+a_{2}+...+a_{2009}<\frac{2008}{2010}$

Bài 10: Cho các số a, b thỏa mãn các hệ thức $a^{2}+b^{2}=1$ và $a^{3}+b^{3}=1$. Tính:

$T=a^{2005}+b^{2006}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi legendary: 25-01-2017 - 08:11

[tienduc]

Bài 4 có tại đây http://diendantoanho...-biểu-thức-khó/

[tienduc]

Bài 3 

Từ giả thiết $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}= \frac{1}{a+b+c}$

$\rightarrow (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+(\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c})= 0$

$\Leftrightarrow \frac{(a+b)}{ab}+\frac{(a+b)}{c(a+b+c)}= 0\Leftrightarrow \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc(a+b+c)}=0$

$\begin{bmatrix} a+b=0 & \\ b+c=0 & \\ c+a=0 & \end{bmatrix}$

TH1 $a+b=0$ $\rightarrow a=-b\rightarrow a^{3}=-b^{3}\rightarrow a^{3}+b^{3}=0\rightarrow c^{3}=2^{9}\rightarrow c=8\rightarrow P=8^{2005}$

TH2 $b+c=0$ và TH3 $a+c=0$ làm tương tự tính được $P=8^{2005}$

[tienduc]

Bài 10: Cho các số a, b thỏa mãn các hệ thức $a^{2}+b^{2}=1(1)$ và $a^{3}+b^{3}=1(2)$. Tính:

$T=a^{2005}+b^{2006}$

Bài 10

Từ giả thiết $x^{2}+y^{2}=1$

$\rightarrow$$\left\{\begin{matrix} x^{2}\leq 1 & \\ y^{2}\leq 1 & \end{matrix}\right.$

$\rightarrow -1\leq x\leq 1;-1\leq y\leq 1$

Vì $x\leq 1\rightarrow x^{3}\leq 1\rightarrow y^{3}\geq 1\rightarrow y\geq 0$

TT $x\geq 0$

Tóm lại $\left\{\begin{matrix} 0\leq x\leq 1 & \\ 0\leq y\leq 1 & \end{matrix}\right.$

Từ giả thiết $x^{2}+y^{2}= x^{3}+y^{3}\rightarrow x^{2}(1-x)+y^{2}(1-y)=0$

Mà $x^{2}(1-x)\geq 0;y^{2}(1-y)\geq 0$ nên

$\left\{\begin{matrix} x^{2}(1-x)=0 & \\ y^{2}(1-y)=0 & \end{matrix}\right.$

$\rightarrow\begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=1 & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} x=1 & \\ y=0 & \end{matrix}\right. & \end{bmatrix}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 25-01-2017 - 21:47

[tienduc]

Bài 5 

Bình phương hai vế của phương trình ta được

$a+\sqrt{b}= \frac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}+\frac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}+2\sqrt{\frac{(a+\sqrt{a^{2}-b})(a-\sqrt{a^{2}-b})}{4}}$

$VP=\frac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}+\frac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}+2\sqrt{\frac{(a+\sqrt{a^{2}-b})(a-\sqrt{a^{2}-b})}{4}}= \frac{2a}{2}+2\sqrt{\frac{a^{2}-a^{2}+b}{4}}= a+\sqrt{b}= VT$

Vậy ta đã cm được đẳng thức

[HentaiEcchi]

Bài 2:

ta có:$S=\frac{a+b}{C}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}$

$=> S+3=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}$

$=> S+3=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

$S+3=2005.2006=4022030=>S=4022027$

[HentaiEcchi]

Bài 6:

đặt $A=\sqrt[3]{\frac{23+\sqrt{513}}{4}}+\sqrt[3]{\frac{23-\sqrt{513}}{4}}$

$A^{3}=\frac{23+\sqrt{513}}{4}+\frac{23-\sqrt{513}}{4}+3\sqrt[3]{\frac{23+\sqrt{513}}{4}.\frac{23-\sqrt{513}}{4}}.A$

$A^{3}=11,5+3.1.A=11,5+3A$

$<=> A^{3}-3A-11,5=0<=> A\approx 2,69559315$

$=> x= \frac{1}{3}(A-1)\approx 0.565197716$

thế vào biểu thức S ta được:$S=2x^{2}+2x+1\approx 2,7692351$

[tienduc]

Bài 1: Biết rằng $x+y=a+b$ và $x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}$. Tính $P=x^{n}+y^{n}$

Từ giả thiết $x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}\rightarrow (x^{2}-a^{2})+(y^{2}-b^{2})= 0\Leftrightarrow (x-a)(x+a)+(y-b)(y+b)=0(1)$

Mà $x+y=a+b$ $\rightarrow x-a=b-y$ thay vào $(1)$ ta có 

$(b-y)(x+a)+(y-b)(y+b)=0\rightarrow (b-y)[(x+a)-(y+b)]= 0$

$\rightarrow \begin{bmatrix} b-y=0 & \\ (x+a)-(y+b)=0 & \end{bmatrix}$

$\rightarrow \begin{bmatrix} b=y & \\ x+a=y+b & \end{bmatrix}$

TH1 $b=y$ $\rightarrow x=a\rightarrow x^{n}+y^{n}=a^{n}+b^{n}$

TH2 $x+a=y+b$ $\rightarrow \left\{\begin{matrix} x-y=b-a & \\ x+y=a+b & \end{matrix}\right.$

$\rightarrow \left\{\begin{matrix} x=b & \\ y=a & \end{matrix}\right.$$\rightarrow x^{n}+y^{n}= a^{n}+b^{n}$

Vậy $x^{n}+y^{n}= a^{n}+b^{n}$