Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $MD,SI$ cắt nhau tại $1$ điểm nằm trên $(O).$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
tpdtthltvp

tpdtthltvp

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 831 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O),$ ngoại tiếp $(I).$ Đường tròn $(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $D.$ Lấy $M$ là điểm chính giữa cung $BC,$ $S$ đối xứng $A$ qua $(O).$ Chứng minh rằng $MD,SI$ cắt nhau tại $1$ điểm nằm trên $(O).$

bđ.JPG


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 26-01-2017 - 07:24

$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$

$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$

 


#2
Iceghost

Iceghost

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 79 Bài viết

371.PNG

Dễ thấy $A, I, M$ thẳng hàng

Đặt $\angle{A} = \alpha$ và $\angle{B} = \beta$

 

Xét $\triangle{BIM}$ có $\angle{BIM} = \angle{IBM} \left( = \dfrac12 \alpha + \dfrac12 \beta \right)$ nên cân tại $M \implies BM = IM$

 

Ta có $\angle{DIM} = \angle{BIM} - \angle{BID} = \left( \dfrac12 \alpha + \dfrac12 \beta \right) - \left(90^\circ - \dfrac12 \beta \right) = \dfrac12 \alpha + \beta - 90^\circ$

$\angle{IAS} = \angle{IAC} - \angle{SAC} = \angle{IAC} - (90^\circ - \angle{ASC}) = \dfrac12 \alpha - (90^\circ - \beta)$

$\implies \angle{IAS} = \angle{DIM}$

 

Gọi $E$ là hình chiếu của $I$ trên $AB$, kẻ đường kính $MN$ của $(O)$. Dễ CM $\triangle{AEI} \sim \triangle{NBM} \implies \dfrac{AI}{MN} = \dfrac{EI}{BM} \iff \dfrac{AI}{AS} = \dfrac{DI}{IM}$

 

Suy ra $\triangle{IAS} \sim \triangle{DIM}$ theo trường hợp c-g-c, nên $\angle{IMD} = \angle{ASI}$. Gọi $P$ là giao điểm của $MD, SI$, khi đó $APMS$ nội tiếp nên ta có đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Iceghost: 27-01-2017 - 16:20


#3
Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 302 Bài viết

$1$ t/c khác cũng khá quen thuộc: Kẻ đường cao $AH$ của $\triangle ABC$ ($H\in BC$) thì $PM$ chia đôi $IH$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh