Chủ đề này có 17 trả lời

[013]

Cho $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$. CMR: $(b-a)(c-a)(d-a)(d-b)(d-c)(c-b)\vdots 12$

[013]

CMR: A = 11¹⁰ - 1 chia hết cho 600.

[013]

Cho $a,b \in \mathbb{N}$ sao cho ab=1996¹⁹⁹⁵. Hỏi a+b có chia hết cho 1995 không?

[013]

Cho $m,n \in \mathbb{N}$ sao cho mn=1991¹⁹⁹². Hỏi m+n có chia hết cho 1992 không?

[013]

Tìm tất cả các số có 4 chữ số $\overline{abcd}$ sao cho $\left\{\begin{matrix} a+b=cd\\ c+d=ab \end{matrix}\right.$

[tenlamgi]

CMR: A = 11¹⁰ - 1 chia hết cho 600.

$\frac{11^{10}-1}{600}=\frac{121^5-1}{600}=\frac{120(\sum_{x=0}^{4}121^x)}{600}=\frac{\sum_{x=0}^{4}121^x}{5}$

dễ thấy $\sum_{x=0}^{4}121^x\equiv 5(mod 10)\Rightarrow (11^{10}-1)\vdots 600$

[013]

Cho 3 số: $A=\underset{2n chu so 4}{\underbrace{444....444}};B=\underset{2n+1 chu so 2}{\underbrace{222....222}};C=\underset{n chu so 8}{\underbrace{888....888}}$

CMR A+B+C+7 là số chính phương.

[013]

Tìm các số tự nhiên x để 65+x² là một số bình phương của một số tự nhiên.

[013]

$\frac{11^{10}-1}{600}=\frac{121^5-1}{600}=\frac{120(\sum_{x=0}^{4}121^x)}{600}=\frac{\sum_{x=0}^{4}121^x}{5}$

dễ thấy $\sum_{x=0}^{4}121^x\equiv 5(mod 10)\Rightarrow (11^{10}-1)\vdots 600$

Bạn có thể nói cụ thể hơn chỗ $\frac{121^5-1}{600}=\frac{120(\sum_{x=0}^{4}121^x)}{600}=\frac{\sum_{x=0}^{4}121^x}{5}$ đc không

[tenlamgi]

Bạn có thể nói cụ thể hơn chỗ $\frac{121^5-1}{600}=\frac{120(\sum_{x=0}^{4}121^x)}{600}=\frac{\sum_{x=0}^{4}121^x}{5}$ đc không

với mọi số nguyên dương n ta có: $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1})$

Vì vậy $121^5-1=(121-1)(121^4+121^3+121^2+121+1)=120(\sum_{x=0}^{4}121^x)$

[tenlamgi]

Cho 3 số: $A=\underset{2n chu so 4}{\underbrace{444....444}};B=\underset{2n+1 chu so 2}{\underbrace{222....222}};C=\underset{n chu so 8}{\underbrace{888....888}}$

CMR A+B+C+7 là số chính phương.

Bạn xem lại bài này được không chứ 8+44+222+7 đâu có chính phương

[013]

Bạn xem lại bài này được không chứ 8+44+222+7 đâu có chính phương

Lạ nhỉ mình nhìn đề kĩ rồi mà.

[013]

Bạn thử làm những câu còn lại đi.

[tenlamgi]

Cho $m,n \in \mathbb{N}$ sao cho mn=1991¹⁹⁹². Hỏi m+n có chia hết cho 1992 không?

Giả sử $m=n\Rightarrow m+n=2.1991^{996}\Rightarrow \frac{m+n}{1992}=\frac{1991^{996}}{996}$

Vì $1991^{996}\equiv 1(mod 10)\Rightarrow$ 1991^(996) không chia hết cho 996

Vậy giả thiết đề bài sai.

[013]

Giả sử $m=n\Rightarrow m+n=2.1991^{996}\Rightarrow \frac{m+n}{1992}=\frac{1991^{996}}{996}$

Vì $1991^{996}\equiv 1(mod 10)\Rightarrow$ 1991^(996) không chia hết cho 996

Vậy giả thiết đề bài sai.

m có thể khác n đc mà bạn

[tenlamgi]

m có thể khác n đc mà bạn

Nhưng đề bài chỉ hỏi có hay không thôi chứ đâu có yêu cầu tìm m hay n thỏa mãn

[013]

Nhưng đề bài chỉ hỏi có hay không thôi chứ đâu có yêu cầu tìm m hay n thỏa mãn

Mà vẫn có thể có trường hợp m khác n thỏa mãn

[Zaraki]

Cho $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$. CMR: $(b-a)(c-a)(d-a)(d-b)(d-c)(c-b)\vdots 12$

Một tổng quát của bài này, cho bạn nào muốn thử sức.

 

[Armon E. Spencer from AMM E 2637] Chứng minh với mọi số nguyên $a_1,a_2, \cdots , a_n$ số $\prod_{1 \le i<j \le n} \frac{a_i-a_j}{i-j}$ là số nguyên.