Chủ đề này có 1 trả lời

[NTMFlashNo1]

Tìm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn:

$f(y)+f(f(y)+x)=y+f(f(f(y))+f(x))$

$\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTMFlashNo1: 26-01-2017 - 00:43

[9nho10mong]

Tìm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn:

$$f(y)+f(f(y)+x)=y+f(f(f(y))+f(x)) \ , \  \forall x,y\in \mathbb{R} \quad{(1)}$$

 

Trong $(1)$ thay $x=0$ được

$$ f(y)+f(f(y)) = y + f(   f(f(y)) +f(0)) \ ; \ \forall y \in \mathbb{R} \quad{(2)} $$

Từ $(2)$ dễ thấy $f$ đơn ánh.

 

Đặt $a= f(0)$, trong $(1)$ thay $x=y=0$ thu được

$$ f(a+f(a)) = a+f(a) \quad{(3)} $$

Trong $(1)$ thay $y= a+f(a)$ thu được

$$ f(a +f(a)) + f(   f(a+f(a)) +x ) = a+f(a) + f(    f(  f(a+f(a)) ) + f(x)      ) \ ; \ \forall x \in \mathbb{R} $$

Kết hợp với $(3)$ thu được

$$ f(a+f(a)+x) = f(a+f(a)+f(x) ) \ ; \ \forall x \in \mathbb{R} \quad{(4)} $$

Mà $f$ đơn ánh nên từ $(4)$ suy ra

$$ f(x)=x \ ; \ \forall x \in \mathbb{R} $$

Dễ thấy hàm số $f(x) = x \ ; \forall x \in \mathbb{R}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài. 

 

Như vậy hàm số thỏa mãn điều kiện đề bài là $f(x) = x \ ; \forall x \in \mathbb{R}$.