Tìm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn:
$f(y)+f(f(y)+x)=y+f(f(f(y))+f(x))$
$\forall x,y\in \mathbb{R}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTMFlashNo1: 26-01-2017 - 00:43
Tìm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn:
$f(y)+f(f(y)+x)=y+f(f(f(y))+f(x))$
$\forall x,y\in \mathbb{R}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTMFlashNo1: 26-01-2017 - 00:43
$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$
Tìm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn:
$$f(y)+f(f(y)+x)=y+f(f(f(y))+f(x)) \ , \ \forall x,y\in \mathbb{R} \quad{(1)}$$
Trong $(1)$ thay $x=0$ được
$$ f(y)+f(f(y)) = y + f( f(f(y)) +f(0)) \ ; \ \forall y \in \mathbb{R} \quad{(2)} $$
Từ $(2)$ dễ thấy $f$ đơn ánh.
Đặt $a= f(0)$, trong $(1)$ thay $x=y=0$ thu được
$$ f(a+f(a)) = a+f(a) \quad{(3)} $$
Trong $(1)$ thay $y= a+f(a)$ thu được
$$ f(a +f(a)) + f( f(a+f(a)) +x ) = a+f(a) + f( f( f(a+f(a)) ) + f(x) ) \ ; \ \forall x \in \mathbb{R} $$
Kết hợp với $(3)$ thu được
$$ f(a+f(a)+x) = f(a+f(a)+f(x) ) \ ; \ \forall x \in \mathbb{R} \quad{(4)} $$
Mà $f$ đơn ánh nên từ $(4)$ suy ra
$$ f(x)=x \ ; \ \forall x \in \mathbb{R} $$
Dễ thấy hàm số $f(x) = x \ ; \forall x \in \mathbb{R}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Như vậy hàm số thỏa mãn điều kiện đề bài là $f(x) = x \ ; \forall x \in \mathbb{R}$.
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh