Chủ đề này có 3 trả lời

[Zaraki]

Bài toán sau là đề ra kì này của tạp chi PI của bạn tháng 11/2016 và đã được đưa giải trong số đầu của tạp chí PI. Tác giả bài toán là thầy Võ Quốc Bá Cẩn. Mình post bài này để các bạn thảo luận cùng tìm các cách khác nhau để giải. 

 

P3. (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho các số nguyên dương $a,b,c,d$ thoả mãn điều kiện $a^2+1=bc, c^2+1=da$. 

a) Chứng minh rằng $P= \frac{a+d}{c}+ \frac{b+c}{a}$ là một số nguyên.

b) Tìm tất cả các giác trị có thể của $P$.

[I Love MC]

Bài toán sau là đề ra kì này của tạp chi PI của bạn tháng 11/2016 và đã được đưa giải trong số đầu của tạp chí PI. Tác giả bài toán là thầy Võ Quốc Bá Cẩn. Mình post bài này để các bạn thảo luận cùng tìm các cách khác nhau để giải. 

 

P3. (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho các số nguyên dương $a,b,c,d$ thoả mãn điều kiện $a^2+1=bc, c^2+1=da$. 

a) Chứng minh rằng $P= \frac{a+d}{c}+ \frac{b+c}{a}$ là một số nguyên.

b) Tìm tất cả các giác trị có thể của $P$.

Lời giải : 
Ta đi chứng minh $b=3a-c,d=3c-a (1)$ 
Nhận thấy $(1)$ so với các điều sau đây là tương đương nhau : 
$b=3a-c \Leftrightarrow a^2+1=(3a-c)c \Leftrightarrow a^2+c^2+1=3ac \Leftrightarrow d=3c-a$ 
Vậy chỉ cần chứng minh rằng nếu $a^2+1$ là bội của $c,c^2+1$ là bội của $a$ thì $a^2+c^2+1=3ac$ 
Giả sử $c \ge a$ .Ta chứng minh theo $S=a+c$ .
Nếu $S=2 \Rightarrow a=c=1 \Rightarrow$ điều chứng minh là đúng. 
Nếu $c>1,c \ne a$ thì $c-1 \ge a$suy ra $c^2>a^2+1$ suy ra $c>b$ , Từ các đẳng thức $a^2+1=bc,c^2+1=da$ ta thu được : 
$(a^2+1)^2=b^2(da-1) \Rightarrow 1 \equiv -b^2 \pmod{a}$ 
Vậy $a|1+b^2$ mà do $b|a^2+1$ mà $a+b<a+c$ nên theo giả thiết quy nạp : 
$a^2+b^2+1=3ab$ 
Vậy $(a^2+1)^2=b^2c^2=(3ab-a^2-1)c^2=3abc^2-(a^2+1)c^2\Rightarrow (a^2+c^2+1)(a^2+1)=3abc^2=3ac(a^2+1) \Rightarrow a^2+c^2+1=3ac$ 
Từ đó ta có $(1)$ được chứng minh tức là : $b=3a-c,d=3c-a$ 
a,b) Ta có $P=\frac{a+d}{c}+\frac{b+c}{a}=\frac{3c}{c}+\frac{3a}{a}=6$ 
 

[Zaraki]

Hay! Lần đầu tiên anh thấy Vieta Jumping được trình bày theo kiểu quy nạp, đọc có vẻ dễ hiểu hơn.

 

Nếu $a,b,c,d$ là các số nguyên thì (a), (b) có đúng không ?

[tay du ki]

Bài toán sau là đề ra kì này của tạp chi PI của bạn tháng 11/2016 và đã được đưa giải trong số đầu của tạp chí PI. Tác giả bài toán là thầy Võ Quốc Bá Cẩn. Mình post bài này để các bạn thảo luận cùng tìm các cách khác nhau để giải. 

 

P3. (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho các số nguyên dương $a,b,c,d$ thoả mãn điều kiện $a^2+1=bc, c^2+1=da$. 

a) Chứng minh rằng $P= \frac{a+d}{c}+ \frac{b+c}{a}$ là một số nguyên.

b) Tìm tất cả các giác trị có thể của $P$.

Cộng vế ta có : $bc+c^{2}= ad+d^{2}$

$\Rightarrow p= \frac{2\left ( a^{2}+ad \right )}{ca}= \frac{2\left ( a+d \right )}{c}$

Mà $c\left ( b+c \right )=a\left ( a+d \right )$ 

Gọi gcd(a; c)=d $\Rightarrow a\vdots d ; c\vdots d$

mà $a^{2}+1=bc \Rightarrow 1 \vdots d$ 

vậy gcd (a; c) =1 nên a+d $\vdots c$ 

vậy p=$ \frac{2\left ( a+d \right )}{c}$ nên p là số nguyên 

b ) ta có p= $\frac{2\left ( a+d \right )}{c}$ $\Rightarrow d = \frac{pc}{2}-a$

thay vào FT $c^{2}+1= ad$ 

Ta có : $a^{2}-\frac{pca}{2}+c^{2}+1 =0$ với p / 2 là số nguyên dương 

Đây là phương trình điôphăng bậc hai có ở nhiều sách mình không giải chi tiết 

$\rightarrow \frac{p}{2}=3 \Rightarrow p =6$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tay du ki: 26-01-2017 - 20:55