Bài $3$: Tính $\lim_{n\rightarrow +\infty}x_{n}$, biết: $x_{n}=n-\sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}$ $\forall n\in\mathbb{N^{*}}$
Đòi hỏi phải đánh giá phức tạp!
Vì $\frac{1+\left(1+\frac{k}{n^2}\right) }{2}\ge \sqrt{1+\frac{k}{n^2}}\ge 1+\frac{k}{2n^2}- \frac{k^2}{8n^4} \forall k=1, 2, ..., n$ nên
\[-\frac{n+1}{4n}=n-\sum_{k=1}^{n}\frac{2+k/n^2}{2}\le x_n \le -\frac{n+1}{4n}+\frac{\sum_{k=1}^{n}k^2}{8n^4}.\]
Hơn nữa, $\lim\limits_{n\to\infty}-\frac{n+1}{4n}=-\frac{1}{4}=\lim\limits_{n\to\infty}-\frac{n+1}{4n}+\frac{\sum_{k=1}^{n}k^2}{8n^4}.$
Bình luận: Đánh giá thứ nhất sinh ra từ BĐT Cauchy.Ta có thể thay thế góc nhìn bởi một góc nhìn mới.
Góc nhìn đã sinh ra đánh giá thứ hai (khó khăn nhất trong hai đánh giá). Cách thay đổi góc nhìn này cho ta một góc nhìn "nhất quán".
Đặt $f(x)= \sqrt{1+x}$ với $x\in [0,1].$
Ta có thể dùng đánh giá sau để xử lý:
\[f'(0)x+f(0) \ge f(x) \ge \frac{f''(0)}{2!}x^2+f'(0)x+f(0) \forall x\in [0,1].\]
Vấn đề cần thảo luận thêm:
1) Liệu dãy $\{x_n\} $ đơn điệu tăng hay không?
2) Nếu 1) được khẳng định thì hiển nhiên $x_n \le -\frac{1}{4}\, \forall n\in \mathbb{N}.$ Liệu đánh giá này cho $x_n$ có đúng không?
Các vấn đề đã giải quyết được: 2)
Dùng kỹ thuật tính tổng của Gauss, ta sẽ ghép cặp để đánh giá và thu được đánh giá sau
\[\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{n-k+1}{n^2}} \ge 2+\frac{1}{2n},\]
Do đó $x_n \le -\frac{1}{4} \, \forall n\in \mathbb{N}.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 28-01-2017 - 13:12