Chủ đề này có 1 trả lời

[NTMFlashNo1]

Tìm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn:

$f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+f(x)+f(y)$

Với mọi $x,y$ thực

[Ankh]

Tìm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn:

$f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+f(x)+f(y)$ (1)

Với mọi $x,y$ thực

 Thay $y:=0$ vào (1) ta được $f(0)(f(x)-2)=0$, cho tiếp $x:=0$ suy ra $f(0)=0$ hoặc $f(0)=2$

 Với $f(0)=2$ thì suy ra $f(x)\equiv 2$

 Với $f(0)=0$, thay $x,y$ trong (1) bởi 2 suy ra $f(2)(f(2)-2)=0$

  - Nếu $f(2)=0$, thay $y=x=1$ vào (1) suy ra $f(1)=0$ hoặc $f(1)=3$

    Với $f(1)=3$, thay $y$ lần lượt bởi $1$ và $2$ vào (1) suy ra $f(x+1)+f(x)=3$ và $f(x+2)=f(2x)+f(x)$, suy ra $f\equiv 0$, vô lí

    Với $f(1)=0$, thay $y:=1$ vào (1) suy ra $f(x+1)=2f(x)$, thay tiếp $x:=x+1$ vào (1) ta có

     $f(x+y+1)+f(x+1)f(y)=f(xy+y)+f(x+1)+f(y)\Leftrightarrow f(xy+y)=2f(xy)+f(y)$, hay $f(x+y)=2f(x)+f(y)=f(x)+2f(y)$, suy ra $f$ hằng hay $f\equiv 0$

  - Nếu $f(2)=2$, thay $x,y$ trong (1) bởi 1 suy ra $f(1)=1$ hoặc $f(1)=2$ 

    Với $f(1)=2$, thay $y:=1$ vào (1) suy ra $f\equiv 2$, vô lí 

    Với $f(1)=1$, thay $y:=1$ vào (1) suy ra $f(x+1)=f(x)+1$ 

    Lại thay $x:=x+1$ vào (1) và biến đổi suy ra $f(xy+y)=f(xy)+f(y)$ hay $f(x+y)=f(x)+f(y)$, suy ra $f(xy)=f(x)f(y)$, với mọi $x,y\in \mathbb{R}$

    Từ đây suy ra $f(x)=x$ 

 Vậy có 3 nghiệm hàm thỏa mãn $f(x)\equiv 0, f(x)\equiv 2, f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$