Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Giới thiệu về đường cong và đa tạp

manifold curve

  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1525 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:Unstable homotopy theory

Đã gửi 27-01-2017 - 23:40

Đường cong và đa tạp 

 

 

Một chủ đề đổi gió và đưa các bạn trôi nổi trong toán học ngày đầu năm là ý nghĩ của mình khi viết bài này , chúc toàn thể anh em VMF năm mới mạnh khỏe , may mắn , hạnh phúc , thành công . 

Trong khuôn khổ từ vựng và kiến thức của tôi chỉ có thể giúp các bạn tìm hiểu một phần đến đây , bài viết không hoàn toàn là dịch vì tôi chưa đủ khả năng . Nhưng tôi đã cố gắng hết sức có thể để giúp chúng ta gần gũi với toán học . Xin cảm ơn các bạn và rất cảm ơn một thành viên giấu tên đã giúp tôi hoàn thành công việc này vì lúc nãy xem táo quân xong mới lên tìm bài dịch . :D

Đường cong

Như tiêu đề , đường cong , cong mà lại mịn , khi nói về đường cong là chúng ta sẽ xét đến các đối tượng xoắn xoắn ,tròn tròn , cong cong mà không nói đến mặt phẳng , đường thẳng , hay đường gấp khúc . 

Tính thú vị của đường cong là nó liên tục ( vì vậy mà nhìn mịn ) đa số là mọi điểm có tiếp tuyến . Tôi ví dụ đồ thị $y=|x|$ không phải là đường cong , vì nhìn như sau chắc bạn hiểu ngay :

absval.jpg

tải xuống (3).png

 

Một ví dụ khác là parabol , giống là khi chúng ta nhìn goku bắn chưởng ra vậy , đồ thị của nó có tiếp tuyến tại mọi điểm . Khi $|x|$ càng lớn thì nhìn rất giống tiếp tuyến của nó nhưng không phải , đó là tiệm cận . Độ cong của một đường cong phụ thuộc vào vị trí ta đang xét , nói riêng hơn là tiếp tuyến . Nhưng parabol cong nhất ở điểm chính giữa , ra càng ra tiếp tuyến có vẻ càng nhanh thành " tiệm cận " .

 

osculating_circle.png

 

Một cách khác để xét độ cong là ta nhét các hình tròn bán kính $R$ nào đó vào các khu vực điểm đang xét sao cho đủ lớn và không cắt đường cong . Khi đó $\frac{1}{R}$ là độ cong , bán kính đường tròn càng lớn độ cong càng nhỏ ( dễ tưởng tượng ) . Vấn đề cuối cùng là cái hình tròn ta vừa nhét nằm cùng phía hay khác phía với tiếp tuyến . Nằm trên thì là độ cong âm , bên dưới sẽ là độ cong dương .

Đa tạp 

Thật không khó để tưởng tượng thê nào là đường cong . Tôi tin rằng trong đầu bạn khi nói đến đường cong sẽ nghĩ ngay đến một dòng chảy uống lượn trên mặt giấy màu trắng , nó có thể là đường tròn , hoặc uốn éo như đồ thị hình sin vậy . Vậy một lần nữa chắc sẽ không khó để bạn nghĩ ngay đến một vật thể , có thể là cái cốc , cái bát , .... cũng có thể toán học hơn là hình trụ hoặc hình cầu . Hơn một chút thì là một quả bóng vị lõm , lá cờ bay trong gió , con chuột bạn đang lăn để đọc những dòng này . 

Các nhà toán học và vật lý đang quan tâm đến độ cong của các đối tượng ở chiều cao . Chúng ta đang bị ảnh hưởng bởi : lực hấp dẫn , nó như là độ cong của không thời gian bốn chiều mà chúng ta đang sống ( các chiều còn lại quá nhỏ ) . Nhưng làm thế nào để bạn mô tả độ cong của một cái gì đó lớn hơn hai chiều ? Chúng ta sẽ đến với khái niệm " đa tạp " .

 

250px-Triangles_(spherical_geometry).jpg

 

 

Chúng ta sống trên trái đất và chúng ta biết nó là hình tương đối " cầu " . Nếu trong toán học có thể coi là cầu hẳn , nhưng đa số chúng ta chắc chưa bao giờ tự hỏi có một khái niệm nào giúp ta mô tả phần lớn các vật thể từ không gian thấp đến nhiều không . Về cơ bản não bộ của chúng ta không cho phép ta tưởng tượng ra các vật thể số chiều cao hơn ba , nó không như là hình trụ , cầu hay là đường cong nên có thể ta sẽ cần một khái niệm chính xác hơn để diễn tả chúng . Đó là đa tạp , những ví dụ như đường tròn , trái đất là các đa tạp một và hai chiều . Bạn hãy tưởng tượng này : khi bạn đứng trên bề mặt trái đất bạn cảm thấy nó bằng phẳng , tức là về mặt địa phương nó là hai chiều , nhưng thực tế là ba . Vậy đa tạp có thể coi là các đối tượng về mặt địa phương thì là $n$ chiều nhưng thực chất lại là $n+1$ .

Như đường cong và các mặt , mọi đa tạp đều có độ cong của nó . Tức là cái gì đó liên quan đến tiếp tuyến . Để hiểu hơn về độ cong của nó mà không gặp phải rắc rối nào , người ta nghiên cứu các đa tạp Riemann nơi mà khoảng cách và góc của không gian tiếp tuyến là trơn trên đa tạp . 

Độ cong

 Chúng ta có khái niệm độ cong Gauss . Nó là một khái niệm mang tính nội tại , tức là địa phương . Để xem xét vấn đề đó hãy để một người sống ở khu vực chúng ta cần xem xét độ cong rồi nhờ họ tính tổng ba góc trong một tam giác sau đó so sánh với $180$ . Độ cong dương nếu tổng ba góc một tam giác lớn hơn $180$ độ , độ cong âm và độ cong - không cũng tương tự vậy . Đây là cơ sở phân ra ba loại hình học Hyperbolic , Elliptic và Euclide . 

 

curvature.jpg

 

Tương tự bạn có thể hiểu được độ cong của đa tạp Riemann với số chiều cao , và cách chúng ta nhúng chúng vào các chiều cao hơn . ( một phép nhúng là một đơn ánh từ không gian này vào không gian kia , tôi có thể nói với bạn rằng một số thứ không thể tồn tại ở một số chiều nào đó nhưng lại luôn tồn tại ở chiều cao hơn ) . Có một giải pháp là xét độ cong tại mỗi điểm $x$ , gọi là $R_{x}$ ( na ná như bán kính đường tròn tại một điểm ) . 

Để hiêu được điều này chúng ta cùng đi đến một thứ dễ hình dùng hơn . Một cái bánh đô-nút , có thể gọi là xuyến , hoặc toán học hơn thì là $S^{1} \times S^{1}$ . Nhìn vào hình vẽ dưới đây , khu vực màu xám có độ cong không , màu xanh có độ cong dương , màu đỏ có độ cong âm . Tại các điểm độ cong dương người ta có thể chứa vừa các quả cầu có thể tích lớn hơn các điểm độ cong âm . 

toruscurvaturemap.png

paralleltransport.jpg

Độ cong vô hướng , trường vô hướng là thứ người ta gắn cho đa tạp hai chiều ( tức là một mặt ) . Tuy nhiên trong hai chiều , người ta cần một thứ tương tự nhưng phức tạp hơn nó là tập hợp các vector quanh khu vực điểm đó( bật mí thêm nó là khái niệm đưa ta đến chứng minh định lý điểm bất động Brouwer : mọi ánh xạ liên tục từ hình cầu vào chính nó phải có điểm bất động ) . 

Nguồn : plus.math.org


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 28-01-2017 - 00:04

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: manifold, curve

3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh