Chủ đề này có 5 trả lời

[thanhmylam]

C/m $(2+\sqrt{3})^{2016}+(2-\sqrt{3})^{2016}$ là số chẵn

[NguyenTaiTue]

$(2+\sqrt{3})^{2016}=\binom{2016}{0}.(\sqrt{3})^{0}.2^{2016}+\binom{2016}{1}.\sqrt{3}.2^{2015}...+\binom{2016}{2016}.3^{1008}.2^{0}$

Tương tự rồi cộng lại ta có đpcm

[thanhmylam]

Cậu có công thức Tổng quát không vậy, cho mình với 

[IHateMath]

Đặt $S_n=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n$ thì $S_0=2,S_1=4$. Bằng quy nạp ta chứng minh được:

$$S_{n+2}=4S_{n+1}-S_n$$.

Từ đó suy ra $S_n$ chẵn với mọi $n$ nguyên dương.

[Baoriven]

Xin chứng minh mà không dùng quy nạp. 

Đặt: $S_n=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n$.

Ta có: $S_{n+2}=[(2+\sqrt{3})^{n+1}+(2-\sqrt{3})^{n+1}][(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})]-(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})[(2+\sqrt{3})^{n}+(2-\sqrt{3})^{n}]=4S_{n+1}-S_n$.

[viet9a14124869]

Xin chứng minh mà không dùng quy nạp. 

Đặt: $S_n=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n$.

Ta có: $S_{n+2}=[(2+\sqrt{3})^{n+1}+(2-\sqrt{3})^{n+1}][(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})]-(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})[(2+\sqrt{3})^{n}+(2-\sqrt{3})^{n}]=4S_{n+1}-S_n$.

Theo anh Baoriven ,,, mình cũng xin viết một vài dòng về dạng tổng quát sau

Vs mọi n bất kì và ta có $S_{n}=a^n+b^n\Rightarrow S_{n}=(a+b).S_{n-1}-ab.S_{n-2}$