Chủ đề này có 3 trả lời

[dungxibo123]

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x^{2} + f(y)) = \frac{f^{2}(x)}{2} + 4y, \forall x,y \in \mathbb{R}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 30-01-2017 - 09:43

[I Love MC]

$f(x^2+f(y))=\frac{f^2(x)}{2}+4y (1)$
Nhận xét : $f(f(x))=ax+b,a \ne 0 \Rightarrow f$ là song ánh 
Từ phương trình đề bài cho . Thế $x=0 \Rightarrow f$ là song ánh 
$f$ là song ánh nên tồn tại $c,a$ sao cho $f(c)=0$
Từ $(1)$ cho $x=y=c$ : $f(c^2)=4c (2)$
Bằng cách gán $c$ cho $y$,$x$ và $-x$ cho $x$. Thu được $f(x)=f(-x)$ hoặc $-f(x)=f(-x) (3)$
Từ $(1)$ cho $x=c,y=-c$ kết hợp với $(3)$ thì dù thay $y$ bởi $c$ hay $-c$ đi nữa thì $f(c^2)=-4c (4)$ 
Từ $(2),(4) \Rightarrow c=0$ 
Từ $(1)$ cho $y=0 \Rightarrow f(x^2)=\frac{f^2(x)}{2} (5)$ . Cho $x=0 \Rightarrow f(f(x))=4x (6)$ 
Từ $(5),(6) \Rightarrow f(x^2+f(y))=f(x^2)+f(f(y)) (7)$ 
Từ $(7)$ ta có $f(a+b)=f(a)+f(b),\forall a \ge 0,b \in \mathbb{R}$ 
Mà $f$ là toán ánh suy ra $f(x+y)=f(x)+f(y),\forall x,y \in \mathbb{R}$ . Phương trình này có trong tài liệu chuyên toán $10$ (bạn tham khảo). 
Từ đó suy ra $f$ có dạng $f(x)=ax$ kết hợp với $(6) \Rightarrow f(x)=2x$ . Thử hàm này vào $(1)$ ta thấy thỏa 
Vậy $f(x)=2x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 29-01-2017 - 09:54

[manhtuan00]

$f(x^2+f(y)) = \frac{f^2(x)}{2}+4y$

$P(0,y):f(f(y)) = \frac{f^2(0)}{2}+4y \implies f$ song ánh

$P(-x,y) \implies f^2(x) = f^2(-x) \implies f(-x) = -f(x) \implies f(0) = 0$

$P(0,y) : f(x^2) = \frac{f^2(x)}{2}$

$P(x,0) : f(f(y)) = 4y$

$\implies f(x^2+f(y))= f(x^2)+f(f(y))$

Do $f$ song ánh nên có thể thay $f(y)$ bởi $y$ nên

$f(x^2+y) = f(x^2)+f(y)$

Do $f(x^2) = \frac{f^2(x)}{2} >0$ nên $f(x^2+y) > f(y)$. Vậy $f$ tăng ngặt

Lại có $f$ cộng tính nên $f(x) = ax \implies f(x) = 2x$

 

[Phan Tien Ngoc]

đoạn sau thì có cách này :

$f(x^2+y)=f(x^2)+f(y)\rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)$ với ($x\geq 0$.xét $x < 0$.Ta có 

$f(-x+y)=f(-x)+f(y)=f(y)-f(x)\rightarrow f(x-y)=f(x)-f(y)\Leftrightarrow f(x-y)=f(x)+f(-y)$ .thay y bởi -y suy ra

$f(x+y)=f(x)+f(y)$.các biến đổi trên có được do sử dụng tính chất hàm lẽ như trên chứng minh