Chủ đề này có 1 trả lời

[misakichan]

Cho tam giác ABC nhọn có bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp lần lượt là r và R. Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: x+ y+ z=r+ R

[NTMFlashNo1]

Cho tam giác ABC nhọn có bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp lần lượt là r và R. Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: x+ y+ z=r+ R

Gọi $M,N,P$ là trung điểm của $BC,CA,AB$

$a,b,c$ là độ dài các cạnh $BC,CA,AB$ của tam giác $ABC$

Khi đó,$BMOP,CMON,ANOP$ là các tứ giác nội tiếp.

Theo định lý $Ptolemy$ ta có:

$OP.BM+OM.BP=OB.MP$

$\Rightarrow za+xc=Rb$

Tương tự có:

$ ya+xb=Rc$

$zb+yc=Ra$

Từ đó ta có:$(z+y)a+(z+x)b+(x+y)c=R(a+b+c)$

Mặt khác ta có: $r(a+b+c)=xa+yb+zc$ cả hai cùng bằng $2S_{ABC}$

Từ đó có $ĐPCM$