Cho tam giác ABC nhọn có bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp lần lượt là r và R. Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: x+ y+ z=r+ R
Chứng minh rằng: x+ y+ z=r+ R
#1
Đã gửi 28-01-2017 - 23:26
#2
Đã gửi 28-01-2017 - 23:44
Cho tam giác ABC nhọn có bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp lần lượt là r và R. Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: x+ y+ z=r+ R
Gọi $M,N,P$ là trung điểm của $BC,CA,AB$
$a,b,c$ là độ dài các cạnh $BC,CA,AB$ của tam giác $ABC$
Khi đó,$BMOP,CMON,ANOP$ là các tứ giác nội tiếp.
Theo định lý $Ptolemy$ ta có:
$OP.BM+OM.BP=OB.MP$
$\Rightarrow za+xc=Rb$
Tương tự có:
$ ya+xb=Rc$
$zb+yc=Ra$
Từ đó ta có:$(z+y)a+(z+x)b+(x+y)c=R(a+b+c)$
Mặt khác ta có: $r(a+b+c)=xa+yb+zc$ cả hai cùng bằng $2S_{ABC}$
Từ đó có $ĐPCM$
- manh nguyen truc, ILikeMath22042001 và Kagome thích
$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh