Chủ đề này có 1 trả lời

[Coppy dera]

Cho các sô thực dương x,y,z thỏa mãn $x+y+z=\frac{3}{2}$. Tìm GTNN của  biểu thức:
 

 $M=\frac{\sqrt{x^2+xy+y^2}}{4yz+1}+\frac{\sqrt{y^2+yz+z^2}}{4zx+1}+\frac{\sqrt{z^2+zx+x^2}}{4xy+1}$

 

  

[Master Kaiser]

Cho các sô thực dương x,y,z thỏa mãn $x+y+z=\frac{3}{2}$. Tìm GTNN của  biểu thức:
 

 $M=\frac{\sqrt{x^2+xy+y^2}}{4yz+1}+\frac{\sqrt{y^2+yz+z^2}}{4zx+1}+\frac{\sqrt{z^2+zx+x^2}}{4xy+1}$

Ta có : $x^2+xy+y^2\geq 3xy\Rightarrow \sqrt{x^2+xy+y^2}\geq \sqrt{3xy}$

$\Leftrightarrow M\geq \sqrt{3}\sum \frac{\sqrt{xy}}{4yz+1}=P$

 

Ta có : $\left ( \sum \left (\frac{\sqrt[4]{xy}}{\sqrt{4yz+1}}.\sqrt{4yz+1}\right )\right )^2\leq P.\sum (4yz+1)$

$(\sqrt[4]{xy}+\sqrt[4]{yz}+\sqrt[4]{zx})^2\leq P(4xy+4yz+4zx+3)$

$\Rightarrow P\geq \frac{(\sqrt[4]{xy}+\sqrt[4]{yz}+\sqrt[4]{zx})^2}{4(xy+yz+zx)+3}$

 

Mà $(\sqrt[4]{xy}+\sqrt[4]{yz}+\sqrt[4]{zx})^2\geq \frac{9}{2}$

$xy+yz+zx\leq \frac{3}{4}$

$\Rightarrow P\geq \frac{3}{4}$

 

$\Rightarrow M\geq \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Dấu bằng $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Master Kaiser: 29-01-2017 - 16:30