Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\frac{3}{b+c-a}+ \frac{4}{c+a-b}+\frac{5}{a+b-c}\geq 4$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Nguyễn Duy

Nguyễn Duy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết

Cho $a, b, c$ là ba cạnh của tam giác thỏa $abc=3b+6c$.

Chứng minh $ \frac{3}{b+c-a}+ \frac{4}{c+a-b}+\frac{5}{a+b-c}\geq 4$



#2
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Cho $a, b, c$ là ba cạnh của tam giác thỏa $abc=3b+6c$.

Chứng minh $ \frac{3}{b+c-a}+ \frac{4}{c+a-b}+\frac{5}{a+b-c}\geq 4$

 

Viết bất đẳng thức trên lại như sau

\[\left(\frac{3}{b+c-a}+ \frac{4}{c+a-b}+\frac{5}{a+b-c}\right)^2 \geqslant \frac{48(b+2c)}{abc}.\]

Áp dụng phép thế Ravi ta đưa bài toán về chứng minh

\[\left(\frac{3}{2x}+ \frac{2}{y}+\frac{5}{2z}\right)^2 \geqslant \frac{48(3x+2y+z)}{(x+y)(y+z)(z+x)},\]

hay là

\[\frac{(192x^2y^2+49xyz^2+32xz^3+15yz^3)(x-y)^2}{8zx^2y^2(x+y)(y+z)(z+x)}+\frac{(3x^2y^2+129x^2z^2+50xy^3+229xy^2z+18y^3z+3y^2z^2)(z-x)^2}{8yz^2x^2(x+y)(y+z)(z+x)}+\frac{(47x^3y+32x^3z+401x^2yz+64y^2z^2)(y-z)^2}{8xy^2z^2(x+y)(y+z)(z+x)}\geqslant0.\]

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#3
thang1308

thang1308

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

Cho $a, b, c$ là ba cạnh của tam giác thỏa $abc=3b+6c$.

Chứng minh $ \frac{3}{b+c-a}+ \frac{4}{c+a-b}+\frac{5}{a+b-c}\geq 4$

Bài này còn có một cách ngắn gọn hơn như sau:

Áp dụng BĐT $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$, ta có

$VT=(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b})+2(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+b-c})+3(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c})$

$\geq \frac{2}{c}+\frac{4}{b}+\frac{6}{a}=2(\frac{a}{3}+\frac{3}{a})\geq 4$ $($ $đpcm$ $)$


Hôm nay thi xong. Căn bản là mệt!!! :wacko:  :wacko:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh