Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Min $\sum \frac{a^3}{\sqrt{ab}+2\sqrt{1+c\sqrt{c}}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Subtract Zero

Subtract Zero

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nam
  • Sở thích:Math, Geography and Literature

Đã gửi 29-01-2017 - 21:31

Cho $a,b,c\in \mathbb{R}^+$ và $\sum a\geq 12$ . Tìm min

$S=\frac{a^3}{\sqrt{ab}+2\sqrt{1+c\sqrt{c}}}+\frac{b^3}{\sqrt{bc}+2\sqrt{1+a\sqrt{a}}}+\frac{c^3}{\sqrt{ac}+2\sqrt{1+b\sqrt{b}}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 29-01-2017 - 21:53

Tôi không lười biếng, tôi đơn giản chỉ: "Tiết kiệm năng lượng"

 

                                                                          ---Oreki Houtarou---


#2 phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THPT
  • 480 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\text{Planet Vegeta}$
  • Sở thích:${\color{Cyan}{\boxed{{\color{Yellow}{\boxed{{\color{blue}
    \bigstar}}\boxed{\color{red}{\text{Dragon ball}}}\boxed{{\color{Green}\bigstar}}}}}}}$

Đã gửi 29-01-2017 - 22:08

Cho $a,b,c\in \mathbb{R}^+$ và $\sum a\geq 12$ . Tìm min

$S=\frac{a^3}{\sqrt{ab}+2\sqrt{1+c\sqrt{c}}}+\frac{b^3}{\sqrt{bc}+2\sqrt{1+a\sqrt{a}}}+\frac{c^3}{\sqrt{ac}+2\sqrt{1+b\sqrt{b}}}$

Đổi biến: $\left ( \sqrt{a},\sqrt{b} ,\sqrt{c}\right )\rightarrow \left ( x,y,z \right )$ khi đó: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 12$

 

$S=\sum \frac{x^{6}}{xy+2\sqrt{1+z^{3}}}=\sum \frac{x^{6}}{xy+2\sqrt{\left ( 1+z \right )\left ( z^{2}-z+1 \right )}}\geq \sum \frac{x^{6}}{xy+z^{2}+2}\\\geq \frac{\left ( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right )^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx+6}\geq \frac{\left ( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right )^{2}}{2\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )+6}$

 

Theo BĐT $\text{Holder}$, ta có: $\left ( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right )\left ( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right )\left ( 1+1+1 \right )\geq \left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )^{3}\\\Rightarrow \left ( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right )^{2}\geq \frac{\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )^{3}}{3}$

 

Từ đó: $S\geq \frac{\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )^{3}}{6\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )+18}$

 

Đặt $x^{2}+y^{2}+z^{2}=t$  $(t \geq 12)$, ta sẽ chứng minh: $\frac{t^{3}}{6t+18}\geq \frac{96}{5}$       $(*)$

 

Thật vậy:

 

$(*)\Leftrightarrow 5t^{3}-576t-1728\geq 0\Leftrightarrow \left ( t-12 \right )\left ( 5t^{2}+60t+144 \right )\geq 0$

 

Vì bất đẳng thức trên luôn đúng với mọi $t \geq 12$ nên $S \geq \frac{96}{5}$

 

Vậy $\min S=\frac{96}{5}\Leftrightarrow a=b=c=4$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 30-01-2017 - 08:51





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh