Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm min P=$\frac{x^2+2y^2+24}{xy(a^2+b^2)}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Subtract Zero

Subtract Zero

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

Cho $a,b,x,y\in \mathbb{R}^+$ thỏa mãn$a^5+b^5=2$ và $x,y\leq 4$

Tìm min P$=\frac{x^2+2y^2+24}{xy(a^2+b^2)}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Subtract Zero: 29-01-2017 - 21:36

Tôi không lười biếng, tôi đơn giản chỉ: "Tiết kiệm năng lượng"

 

                                                                          ---Oreki Houtarou---


#2
phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THPT
  • 480 Bài viết

Cho $a,b,x,y\in \mathbb{R}^+$ thỏa mãn$a^5+b^5=2$ và $x,y\leq 4$

Tìm min P$=\frac{x^2+2y^2+24}{xy(a^2+b^2)}$

Nhìn nhiều biến thế này nhưng thực chất đây chỉ là sự kết hợp của hai bài toán: Tìm GTLN của $a^{2}+b^{2}$ và tìm GTNN của $\frac{x^{2}+2y^{2}+24}{xy}$

  • Theo BĐT $\text{Holder}$, ta có: $\left ( a^{5}+b^{5} \right )\left ( a^{5}+b^{5} \right )\left ( 1+1 \right )\left ( 1+1 \right )\left ( 1+1 \right )\geq \left ( a^{2}+b^{2} \right )^{5}\Rightarrow a^{2}+b^{2}\leq 2$
  • Ta lại có: $\frac{x^{2}+2y^{2}+24}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}+\frac{24}{xy}\\=\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )+\left ( \frac{y}{x}+\frac{16}{xy} \right )+\frac{8}{xy}\geq 2+2\sqrt{\frac{16}{x^{2}}}+\frac{8}{xy} \geq \frac{9}{2}$

Từ đó: $\frac{x^{2}+2y^{2}+24}{xy\left ( a^{2}+b^{2} \right )}\geq \frac{9}{2.2}=\frac{9}{4}$

 

Vậy $\min P=\frac{9}{4}$ khi và chỉ khi: $\left\{\begin{matrix} x=y=4 & \\ a=b=1 & \end{matrix}\right.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 29-01-2017 - 21:51





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh