Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

Bộ ba và bộ bốn: Từ Pythagoras đến Fermat


  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản trị
  • 856 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh, Việt Nam
  • Sở thích:toán, toán và.... toán

Đã gửi 30-01-2017 - 16:04

BỘ BA VÀ BỘ BỐN: TỪ PYTHAGORAS ĐẾN FERMAT

 

Nếu có một chút về Toán mà bạn nhớ từ chương trình học ở trường thì đó có lẽ là định lý Pythagoras. Với tam giác vuông có các cạnh $a,~b,~c$, trong đó $c$ là cạnh đối diện góc vuông, ta có

                                                                         $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$$

Nếu ba số dương $a,~b$ và $c$ thỏa phương trình này, tạo thành các cạnh của một tam giác vuông thì ba số dương trên gọi là bộ ba số Pythagoras.

theorem.png

Định lý Pythagoras

 

Một câu hỏi khiến Pythagoras cũng như các nhà Toán học Hy Lạp cổ xưa khác phải suy nghĩ đó là làm thế nào để tạo ra các bộ ba Pythagoras. Nếu tôi cho bạn một số dương $a$, bạn có thể tìm được hai số $b$ và $c$ sao cho $a,~b$ và $c$ tạo thành bộ ba Pythagoras không? Trong bài này, chúng ta sẽ khám phá câu hỏi này và đồng thời ta sẽ có ý tưởng mở rộng sang các tập bốn số, được gọi là bộ bốn Pythagoras.

 

I. BỘ BA PYTHAGORAS

 

Dưới đây là ví dụ về bộ ba Pythagoras

triples.png

 

Các bộ ba được viết màu đỏ là bội số lẫn nhau và cũng như vậy với các bộ ba được viết màu xanh: bạn có $\left( 6,~8,~10 \right)$, $\left( 9,~12,~15 \right)$ và $\left( 12,~16,~20 \right)$ bằng cách nhân mỗi thành phần của $\left( 3,~4,~5 \right)$ tương ứng với 2, 3 và 4 , và có $\left( 10,~24,~26 \right)$ bằng cách nhân mỗi thành phần của $\left( 5,~12,~13 \right)$ với 2.

 

Tổng quát, nếu $k$ là số dương và $\left( a,~b,~c \right)$ là một bộ ba Pythagoras thì $\left( ka,~kb,~kc \right)$ cũng vậy, vì

$${{\left( ka \right)}^{2}}+{{\left( kb \right)}^{2}}={{k}^{2}}{{a}^{2}}+{{k}^{2}}{{b}^{2}}={{k}^{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)={{k}^{2}}{{c}^{2}}={{\left( kc \right)}^{2}}$$

Trong hình học, nếu một bộ ba Pythagoras là một bội số của một bộ ba khác thì các tam giác tương ứng đồng dạng.

 

pythagoras_painting.jpg

Bức hoạ của Raffaello Sanzio về Pythagoras có tên “Ngôi trường Athens”

 

Nếu một bộ ba Pythagoras không phải là bội số của một bộ ba khác thì ta nói đó là bộ ba nguyên thủy. Có thể nhận biết một bộ ba Pythagoras nguyên thủy khi các số $a$ và $b$ không có ước chung. Trong ví dụ trên, $\left( 3,~4,~5 \right)$ là một bộ ba Pythagoras nguyên thủy trong khi $\left( 6,~8,~10 \right)$, $\left( 9,~12,~15 \right)$ và $\left( 12,~16,~20 \right)$ thì không. Tương tự (5, 12, 13) cũng là một bộ ba Pythagorean nguyên thủy trong khi $\left( 10,~24,~26 \right)$ thì không.

 

Nếu có một bộ ba Pythagoras thì thật dễ để tạo ra các bộ ba không nguyên thủy mới cách đơn giản bằng cách lấy các bội số tương ứng. Nhưng nếu chỉ cho một số, bạn có thể tìm được một bộ ba Pythagoras sao cho số đó là một trong các thành phần của bộ ba không? Pythagoras đã nghĩ ra một phương pháp giải quyết vấn đề này. Lưu ý đầu tiên là nếu

                                                                         $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$$

thì

                                                                          $${{c}^{2}}-{{b}^{2}}={{a}^{2}}$$

Bây giờ hãy xét hai biểu thức

                                               $${{\left( {{a}^{2}}+1 \right)}^{2}}={{a}^{4}}+2{{a}^{2}}+1$$


$${{\left( {{a}^{2}}-1 \right)}^{2}}={{a}^{4}}-2{{a}^{2}}+1$$

Hai biểu thức này sai khác nhau đúng $4{{a}^{2}}$, nên hai biểu thức

                                                             $$\frac{{{\left( {{a}^{2}}+1 \right)}^{2}}}{4}$$

                                                             $$\frac{{{\left( {{a}^{2}}-1 \right)}^{2}}}{4}$$

sai khác nhau ${{a}^{2}}$.

 

Vì vậy, nếu chọn

          $$b=\sqrt{\frac{{{\left( {{a}^{2}}-1 \right)}^{2}}}{4}}=\frac{{{\left( {{a}^{2}}-1 \right)}}}{2}$$

          $$c=\sqrt{\frac{{{\left( {{a}^{2}}+1 \right)}^{2}}}{4}}=\frac{{{\left( {{a}^{2}}+1 \right)}}}{2}$$

Ta được

$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}+\frac{{{\left( {{a}^{2}}-1 \right)}^{2}}}{4}=\frac{{{\left( {{a}^{2}}+1 \right)}^{2}}}{4}={{c}^{2}}$$

Để các số $a,~b$ và $c$ đại diện cho một bộ ba Pythagoras, ta cần

                                                                               $$b=\frac{{{a}^{2}}-1}{2}$$

                                                                               $$c=\frac{{{a}^{2}}+1}{2}$$

là số nguyên dương, tức cả ${{a}^{2}}-1$ và ${{a}^{2}}+1$ đều chẵn, khi đó ${{a}^{2}}$ phải là số lẻ. Nhưng bình phương của một số là lẻ chỉ nếu số đó lẻ, nên phương pháp này chỉ áp dụng cho số lẻ $a$.

 

plato.jpg

Bức hoạ Plato (trái) và Aristotle (phải) do hoạ sĩ Raffaello Sanzio vẽ trong bức “Ngôi trường Athens”

 

Tuy nhiên có một cách đơn giản để tạo ra một công thức thoả giá trị chẵn từ trên. Nếu $a,~b$ và $c$ tạo thành một bộ ba Pythagoras về dạng được mô tả ở trên, thì

                                                                                         $${{a}_{1}}=2a$$

                                   $${{b}_{1}}=2b={{a}^{2}}-1={{\left( \frac{{{a}_{1}}}{2} \right)}^{2}}-1$$

                                                $${{c}_{1}}=2c={{\left( \frac{{{a}_{1}}}{2} \right)}^{2}}+1$$

Phương pháp này tạo ra các bộ ba từ các số chẵn ${{a}_{1}}$ do Plato đề xuất. Dưới đây là danh sách các bộ ba Pythagoras được tạo ra từ các số chẵn và lẻ bằng cách sử dụng hai phương pháp này:

list.png

 

Do hai phương pháp này tạo ra bộ ba số Pythagoras từ tất cả các số nguyên dương nên ta có vô hạn bộ ba Pythagoras. Nhưng liệu hai phương pháp này có thể tạo ra tất cả các bộ ba đó không? Câu trả lời là không. Ví dụ, bộ ba $\left( 20,~21,~29 \right)$ không có trong danh sách trên. Một công thức chung do Euclide mô tả trong cuốn sách nổi tiếng The Elements của ông rằng: Lấy bất kỳ hai số nguyên dương $m$ và $n$ với $m>n$. Tương tự với lập luận trên, chú ý rằng

                     $${{\left( {{m}^{2}}-{{n}^{2}} \right)}^{2}}={{m}^{4}}-2{{m}^{2}}{{n}^{2}}+{{n}^{4}}$$

                    $${{\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right)}^{2}}={{m}^{4}}+2{{m}^{2}}{{n}^{2}}+{{n}^{4}}$$

sai khác nhau $4{{m}^{2}}{{n}^{2}}$. Vậy nên ta đặt

                                                                                $$a={{m}^{2}}-{{n}^{2}}$$

                                                                  $$b=~\sqrt{4{{m}^{2}}{{n}^{2}}}=2mn$$

                                                                                $$c={{m}^{2}}+{{n}^{2}}$$

Thu được

                                                                         $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$$

Vì $m$ và $n$ là các số nguyên dương và $m>n$, tất cả ba số $a,~b$ và $c$ cũng là số nguyên dương nên ta có một bộ ba Pythagoras. Mỗi bộ ba Pythagoras nguyên thủy đều có thể được tạo ra từ một cặp số $m$ và $n$ duy nhất mà một trong hai là số chẵn. Và một khi bạn có những bộ ba nguyên thủy, bạn có thể tạo ra tất cả các bộ ba Pythagorean bằng cách đơn giản là nhân lên. Vậy nên công thức của Euclid có thể tạo ra tất cả bộ ba Pythagoras.

 

euclid.jpg

Euclide (người cầm com-pa) trong bức hoạ “ngôi trường Athens” của Raffaello Sanzio

 

II. CÁC BỘ BỐN PYTHAGORAS

 

Bây giờ ta quan sát bộ bốn Pythagoras gồm bốn số nguyên dương thay vì ba số. Trong một bộ bốn Pythagoras, tổng bình phương của ba số đầu cho chúng ta bình phương của số thứ tư:

                                                               $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{d}^{2}}$$

Về mặt hình học, bộ bốn Pythagoras ứng với một hình hộp chữ nhật với các cạnh $a,~b$ và $c$. Độ dài đường chéo của hộp này là

                                                                  $$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$$

Do đó các cạnh cùng với cạnh chéo tạo thành một bộ bốn Pythagoras. Đây là lý do tại sao bộ bốn Pythagoras cũng được gọi là hộp Pythagoras.

box.jpg

Như ở trên, nếu $\left( a,~b,~c,~d \right)$ là một bộ bốn Pythagoras thì $\left( ka,~kb,~kc,~kd \right)$ cũng vậy với mọi số nguyên dương $k$. Nếu ước chung lớn nhất của $a,~b$ và $c$ là 1 thì bộ bốn được gọi là nguyên thủy. Dưới đây là một số ví dụ về các bộ bốn Pythagoras với mỗi bộ cùng màu là bội số của nhau (đỏ, xanh da trời hoặc xanh lá):

quadruples.png

 

Ta có thể tạo ra bộ bốn Pythagoras từ hai số $m$ và $n$ bất kỳ, đơn giản bằng cách chú ý rằng

                                                  $${{\left( m+n \right)}^{2}}={{m}^{2}}+2mn+{{n}^{2}}$$

Vì vậy, đặt $a={{m}^{2}}$, $b=2mn$, $c={{n}^{2}}$ và $d={{\left( m+n \right)}^{2}}$ cho ta một bộ bốn Pythagoras.

 

Việc đặt như vậy cũng cho ta một cách để tạo ra một bộ bốn Pythagoras từ một số chẵn $p$. Đầu tiên, chú ý rằng nếu $p$ chẵn thì ${{p}^{2}}$ chẵn. Bây giờ tìm hai số $m$ và $n$ sao cho $mn={{p}^{2}}/2$.

 

Đặt

                                                                                                 $$a=m$$

                                                                                     $$b=p=\sqrt{2mn}$$

                                                                                                  $$c=n$$

                                                                         $d={{\left( m+n \right)}^{2}}.$

thì

          $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{m}^{2}}+2mn+{{n}^{2}}={{\left( m+n \right)}^{2}}={{d}^{2}}$$

cho ta bộ bốn Pythagoras. Ví dụ, nếu $p=2$ thì ${{p}^{2}}/2=2$ nên ta chọn $m=1$ và $n=2$. Ta được bộ bốn $\left( 1,~2,~2,~3 \right)$ với ${{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}=1+4+4=0={{3}^{2}}.$

 

Với $p=4$ ta có ${{p}^{2}}/2=8$. Giờ ta có hai cách chọn là $8=2\times 4$ và $8=1\times 8$. Cách chọn thứ nhất cho bộ bốn $\left( 2,~4,~4,~6 \right)$ với

                                                  $${{2}^{2}}+{{4}^{2}}+{{4}^{2}}=4+16+16=36={{6}^{2}}$$

Cách chọn thứ hai cho bộ bốn $\left( 1,~4,~8,~9 \right)$ với

                                                  $${{1}^{2}}+{{4}^{2}}+{{8}^{2}}=1+16+64=81+{{9}^{2}}$$

Bạn có thể tiếp tục tạo ra các bộ bốn từ các số chẵn $p$ theo cách này.

 

III. CHÚNG TA CÓ THỂ TẠO RA TẤT CẢ CÁC BỘ BỐN PYTHAGORAS?

 

Không phải tất cả các bộ bốn Pythagoras đều có dạng

                                                  $${{\left( m+n \right)}^{2}}={{m}^{2}}+2mn+{{n}^{2}}$$

nên không phải lúc nào ta có thể tạo ra bộ bốn Pythagoras bằng phương pháp trên - chúng ta cần linh động hơn một chút. Giả sử rằng cho hai số $a$ và $b$, giờ ta hãy tìm một số $p$ sao cho ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ chia hết cho $p$ nhưng ${{p}^{2}}<{{a}^{2}}+{{b}^{2}}$. Nếu $a$ và $b$ đều chẵn thì ta cũng cần $p$ phải chẵn.

 

Bây giờ cho

                                                            $$c=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{p}^{2}}}{2p}$$

Thì

$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+\frac{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}-2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right){{p}^{2}}+{{p}^{4}}}{4{{p}^{2}}}$$

$$={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+\frac{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}}{4{{p}^{2}}}-\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}+\frac{{{p}^{2}}}{4}$$

$$=\frac{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}}{4{{p}^{2}}}+\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}+\frac{{{p}^{2}}}{4}$$

$$={{\left( \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{p}^{2}}}{2p} \right)}^{2}}$$

Vậy ta đặt

                                                           $$d=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{p}^{2}}}{2p}$$

Ta được

                                                               $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{d}^{2}}$$

Nhưng có phải $a,~b,~c$ và $d$ đều là số nguyên dương? Đây là lý do vì sao chúng ta có các điều kiện đặt ra cho $p$. Dễ chứng minh rằng miễn $a$ và $b$ là số chẵn hoặc một chẵn một lẻ thì điều kiện trên đảm bảo rằng $a,b,c$ và $d$ là số nguyên dương.

 

Nếu $a$ và $b$ đều lẻ thì không thể tạo ra bộ bốn Pythagorean bằng phương pháp này.

 

Nhưng điểm quan trọng là bạn có thể xẫy dựng các bộ bốn Pythagoras nguyên thủy từ hai số $a$ và $b$ theo cách trên. Và mặt khác, một khi bạn có những bộ bốn nguyên thủy, bạn có thể tạo ra tất cả các bộ bốn khác bằng cách nhân lên.

 

IV. TẠO RA MỘT DÃY BÌNH PHƯƠNG

 

Thêm một điều hay đáng chú ý là từ kĩ thuật tạo ra các bộ ba, chúng ta có thể tạo ra bộ bốn, bộ năm, .. tạo ra bộ các tổng các bình phương với bất kì độ dài nào. Ta bắt đầu với bộ ba $\left( 3,~4,~5 \right)$, ta có thể tạo ra bộ ba khác, bắt đầu với số 5: đó là $\left( 5,~12,~13 \right)$. Vì vậy nên ta có

                                                                         $${{3}^{2}}+{{4}^{2}}={{5}^{2}}$$

                                                                       $${{5}^{2}}+{{12}^{2}}={{13}^{2}}$$

Sắp xếp lại phương trình thứ hai ta có

                                                                       $${{5}^{2}}={{13}^{2}}-{{12}^{2}}$$

Thay vào phương trình thứ nhất và sắp xếp lại, ta có

                                                            $${{3}^{2}}+{{4}^{2}}+{{12}^{2}}={{13}^{2}}$$

nên ta có bộ bốn $\left( 3,~4,~12,~13 \right)$. Tương tự, luôn dùng số lớn nhất trong tập các số hiện tại để tạo ra một bộ ba mới, ta có thể tạo nên bộ năm $\left( 3,~4,~12,~84,~85 \right)$ và bộ sáu $\left( 3,~4,~12,~84,~3612,~3613 \right)$ và vân vân, vô hạn.

 

V. LŨY THỪA BA VÀ BẬC CAO HƠN

 

Các bộ bốn Pythagoras bao gồm tổng các bình phương, nhưng nếu ta “nâng cấp” lên mũ 3 có dạng

                                                              $${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}={{d}^{3}}.$$

thì bộ bốn này được gọi là bộ bốn lũy thừa ba. Dưới đây là một vài ví dụ (lần nữa, các bộ bốn có cùng màu màu đỏ, xanh da trời và xanh lá là bội số của nhau).

 

cubic.png

 

Ở đây chúng ta sẽ không khảo sát tỉ mỉ công thức tạo ra bộ bốn luỹ thừa ba, nhưng thay vào đó hỏi một câu hỏi xuất hiện thì thú vị hơn nhiều: Có tồn tại những bộ ba lũy thừa ba? Câu hỏi này bài toán của một trong những định lý nổi tiếng của Toán học: Định lý cuối cùng của Fermat. Định lý nói rằng không có ba số nguyên dương $a,~b$ và $c$ nào thỏa mãn

                                                                         $${{a}^{3}}+{{b}^{3}}={{c}^{3}}$$

Trên thực tế, định lý còn nói rằng với bất kì số nguyên $n$ nào lớn hơn 2 thì không thể tìm ra ba số nguyên dương $a,~b~$và $c$ sao cho

                                                                         $${{a}^{n}}+{{b}^{n}}={{c}^{n}}$$

Đây là giả thuyết do nhà Toán học nổi tiếng người Pháp Pierre de Fermat đưa ra vào năm 1637. Fermat đã viết trong lề cuốn sách rằng ông đã “có một cách chứng minh rất hay, nhưng lề sách này quá nhỏ để viết”. Trong hơn 300 năm, các nhà Toán học đã cố gắng tìm ra cách chứng minh, nhưng họ đã không thành công. Mãi cho đến năm 1995, nhà toán học Andrew Wiles mới chứng minh được định lý trên, sử dụng các công cụ toán phức tạp mà Fermat không thể nào biết được.

 

Người dịch: Nguyễn Thị Hồng Niên - Thành viên Chuyên san EXP

Bài viết này dịch theo https://plus.maths.o...and-quadruples 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 30-01-2017 - 16:33

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

logocopy.jpg?t=1339838138


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh