Chủ đề này có 7 trả lời

[steven pears]

tìm n $\in N$ biết  $1+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=1136275$

[tenlamgi]

tìm n $\in N$ biết  $1+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=1136275$

n=150

[tay du ki]

ta có n²= n(n+1)-n 

Từ đây thì dễ rồi 

 

tìm n $\in N$ biết  $1+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=1136275$

[IHateMath]

Sử dụng công thức $1^2+2^2+\ldots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Giải phương trình bậc 3: $n(n+1)(2n+1)=6\cdot 1136275$ tìm được $n=150$.

[steven pears]

Sử dụng công thức $1^2+2^2+\ldots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Giải phương trình bậc 3: $n(n+1)(2n+1)=6\cdot 1136275$ tìm được $n=150$.

bạn có thể nói rõ hơn tại sao lại có công thức đó không?

[IHateMath]

Chứng minh công thức đó không khó, có thể sử dụng quy nạp. Còn để tìm ra công thức đó, có nhiều cách, bạn có thể xem tại đây: https://trans4mind.c...uralSquares.htm.

[tranductucr1]

bạn có thể nói rõ hơn tại sao lại có công thức đó không?

C1 sử dụng quy nạp cái này đơn giản 
C2 ta có 
$S=1^2+2^2+...+n^2=1*(2-1)+2(3-2)+..+n(n+1-1)=1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)-(1+2+3+4+...+n)$(3) 

ta có $1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$(2)
và $1*2+2*3+...+n(n+1)=\frac{1*2*3+2*3*3+...+n(n+1)*3}{3}=\frac{1*2*3+2*3*(4-1)+3*4*(5-2)+...+n(n+1)((n+2)-(n-1))}{3}=\frac{1*2*3-2*3*4+...+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)}{3}=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} $ (1)

thay (1) (2) vào (3) ta được 

$S=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 13-02-2017 - 20:36

[tranductucr1]

bạn có thể nói rõ hơn tại sao lại có công thức đó không?

 

C1 sử dụng quy nạp cái này đơn giản 
C2 ta có 
$S=1^2+2^2+...+n^2=1*(2-1)+2(3-2)+..+n(n+1-1)=1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)-(1+2+3+4+...+n)$(3) 

ta có $1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$(2)
và $1*2+2*3+...+n(n+1)=\frac{1*2*3+2*3*3+...+n(n+1)*3}{3}=\frac{1*2*3+2*3*(4-1)+3*4*(5-2)+...+n(n+1)((n+2)-(n-1))}{3}=\frac{1*2*3-2*3*4+...+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)}{3}=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} $ (1)

thay (1) (2) vào (3) ta được 

$S=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Vừa nhớ ra một cách hay dùng để chứng minh tổng quát cho loại bài toán này :V 
 gọi $S_k=1^k+2^k+...+n^k$
ta có
$2^3=(1+1)^3=1^3+3*1^2+3*1+1^3$
$3^3=(1+1)^3=1^3+3*2^2+3*2+2^3$
...
$(n+1)^3=1^3+3*n^2+3*n+n^3$
=> $2^3+3^3+...+n^3+(n+1)^3=(1^3+1^3+...+1^3)+3(1^2+2^2+...+n^2)+3(1+2+..+n)+1^3+2^3+...+n^3$
=> $(n+1)^3=n+3S_2+3S_1+1$
=>$S_2=\frac{(n+1)^3-1-3S_1-n}{3}$
ta có kết quả quen thuộc $S_1=\frac{n(n+1)}{2}$
=>$S_2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 13-02-2017 - 20:49