Đến nội dung


Hình ảnh

Tuần 1 tháng 2/2017: $QR$ đi qua điểm cố định khi $P$ di chuyển

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4197 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 05-02-2017 - 23:28

Như vậy lời giải bài toán Tuần 5 tháng 1/2017 đã được thầy Hùng đưa tại đây kèm theo đó là bài toán mới. Xin trích dẫn lại bài toán mới:

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. $P$ là điểm di chuyển trên cung $BC$ không chứa $A$. Các điểm $E,F$ lần lượt thuộc $CA,AB$ sao cho $PB \perp BE$ và $PC \perp CF$. $EF$ cắt $BC$ tại $Q$. $R$ thuộc đoạn $AP$ sao cho $\angle RBP =\angle  RCP$. Chứng minh rằng đường thẳng $QR$ luôn đi qua một điểm cố định khi $P$ di chuyển.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 08-02-2017 - 20:11
Tuần 1

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#2 Ngockhanh99k48

Ngockhanh99k48

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Ninh

Đã gửi 06-02-2017 - 00:06

Cuối cùng diễn đàn đã mở lại :D

Lời giải:

Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $BC$ tại $S$. Dễ thấy rằng $BE$ cắt $CF$ tại $K$ là đối xứng của $P$ qua $(O)$. $BR, CR$ thứ tự cắt $(O)$ tại $X$, $Y$. Theo giả thiết ta có $PX=PY$. Theo IMO Problem 4 ta có $SR=SA$. Mặt khác $AK \perp AR$, $AS \perp AO$ nên $\triangle AOK \stackrel{+}{\sim} \triangle ASR$. Kẻ tiếp tuyến $SZ$ khác $SA$ thì $Z$ cố định và $\angle AZR = \frac{1}{2} \angle ASR = \frac{1}{2} \angle AOK  = \angle APK = \angle AZK$ nên $KR$ đi qua $Z$. 

Ta có $ABZC$ là tứ giác điều hòa nên $K(AREF)=K(AZBC)=-1$, mặt khác theo tính chất hàng điểm cơ bản ta có $A(KQEF) = A(KQCB)=-1$ nên $A(KQEF)=K(AREF)$ hay $Q$ thuộc $KR$ do $E, F, Q$ thẳng hàng. Vậy $QR$ đi qua $Z$ cố định


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngockhanh99k48: 06-02-2017 - 00:08


#3 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 148 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hòa bình
  • Sở thích:Hình , Hàm

Đã gửi 06-02-2017 - 17:45

Em có lời giải sau :

Bổ để : cho $(I),(O)$ trực giao nhau và cắt nhau tại $B,C$ , $D$ thuộc cung nhỏ $BC$ của $(I)$ , $DB$ cắt $(O)$ tại $F$ , $FO$ cắt $(O)$ tại $E$ thì $E,D,C$ thẳng hàng

Chứng minh , Gọi $CF$ cắt $(I)$ tại $A$ , áp dụng Pascal cho bộ $\binom{ABC}{DCB}$ suy ra dpcm

Trở lại bài toán : $BE$ cắt $CF$ trên $(O)$ tại $H$ , ta có  :$H(AQEF)=-1$ nên $HQ$ cắt $(O)$ tại $K$ thì $ABKC$ là tứ giác điều hòa nên $AK$ đối trung , $K$ cố định

Tiếp theo ta sẽ chứng minh $R$ thuộc $HK$ , ta có $\frac{AB}{AC}=\frac{Sin\widehat{BPR}}{Sin\widehat{CPR}}=\frac{BR}{CR}$ ( dó 2 bán kính đường tròn $(BRP),(CRP)$ bằng nhau ) nên $R$ thuộc $(Apolo)$ dựng trên $BC$ và qua $A$ , Mặt khác $(Apolo),(O)$ trực giao nhau nên theo bổ để , $R,H,K$ thẳng hàng

Vậy $RQ$ đy qua $K$ cố định


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ecchi123: 06-02-2017 - 17:49


#4 manhtuan00

manhtuan00

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Hình học, số học, phương trình hàm, tổ hợp

Đã gửi 07-02-2017 - 01:30

Lời giải của em ạ 

Gọi $N$ đối xứng $P$ qua $O$ thì $N,E,B$ thẳng hàng và $N,F,C$ thẳng hàng. $BR,CR$ cắt $NC,NB$ tại $U,V$

$\blacksquare$ Ta chứng minh $AN,UV,BC$ đồng quy

$\angle PCR = \angle PBR$ nên $\angle VCN = \angle UBN \implies U,V,B,C$ đồng viên

$UV$ cắt $BC$ tại $T$ . Gọi $I$ là tâm $(UVBC)$. Theo định lý Brocard, $TR \perp NI$ tại $X$, $AR \perp TI$ tại $Y$

Xét nghịch đảo $ I^N_{NV.NB} : B \rightarrow V, C \rightarrow U,R \rightarrow Y, I \rightarrow X, P \rightarrow W ( W \equiv AO \cap UV)$

Thật vậy ta có $N,W,X,Y$ đồng viên trên đường tròn đường kính $NT$ nên $R,I,P$ thẳng hàng. Từ đây có $NA \perp RI$. Theo Brocard thì $NT \perp RI$ nên $N,T,A$ thẳng hàng.

$\blacksquare$ Ta chứng minh $QR$ đi qua điểm cố định 

Có $N(RT,BC) = F(ET,BC) = -1$ nên $N,Q,R$ thẳng hàng. $RQ$ cắt $(O)$ tại $L$ thì $(AL,BC) = N(AL,BC) = (TQ,BC) = -1 \implies L$ cố định. Vậy $QR$ đi qua $L$ cố định với $L$ thỏa mãn tứ giác $ABLC$ điều hòa


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 07-02-2017 - 01:32






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh