Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Hình ảnh

Tuần 1 tháng 2/2017: $QR$ đi qua điểm cố định khi $P$ di chuyển

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4183 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 05-02-2017 - 23:28

Như vậy lời giải bài toán Tuần 5 tháng 1/2017 đã được thầy Hùng đưa tại đây kèm theo đó là bài toán mới. Xin trích dẫn lại bài toán mới:

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. $P$ là điểm di chuyển trên cung $BC$ không chứa $A$. Các điểm $E,F$ lần lượt thuộc $CA,AB$ sao cho $PB \perp BE$ và $PC \perp CF$. $EF$ cắt $BC$ tại $Q$. $R$ thuộc đoạn $AP$ sao cho $\angle RBP =\angle  RCP$. Chứng minh rằng đường thẳng $QR$ luôn đi qua một điểm cố định khi $P$ di chuyển.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 08-02-2017 - 20:11
Tuần 1

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#2 Ngockhanh99k48

Ngockhanh99k48

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Ninh

Đã gửi 06-02-2017 - 00:06

Cuối cùng diễn đàn đã mở lại :D

Lời giải:

Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $BC$ tại $S$. Dễ thấy rằng $BE$ cắt $CF$ tại $K$ là đối xứng của $P$ qua $(O)$. $BR, CR$ thứ tự cắt $(O)$ tại $X$, $Y$. Theo giả thiết ta có $PX=PY$. Theo IMO Problem 4 ta có $SR=SA$. Mặt khác $AK \perp AR$, $AS \perp AO$ nên $\triangle AOK \stackrel{+}{\sim} \triangle ASR$. Kẻ tiếp tuyến $SZ$ khác $SA$ thì $Z$ cố định và $\angle AZR = \frac{1}{2} \angle ASR = \frac{1}{2} \angle AOK  = \angle APK = \angle AZK$ nên $KR$ đi qua $Z$. 

Ta có $ABZC$ là tứ giác điều hòa nên $K(AREF)=K(AZBC)=-1$, mặt khác theo tính chất hàng điểm cơ bản ta có $A(KQEF) = A(KQCB)=-1$ nên $A(KQEF)=K(AREF)$ hay $Q$ thuộc $KR$ do $E, F, Q$ thẳng hàng. Vậy $QR$ đi qua $Z$ cố định


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngockhanh99k48: 06-02-2017 - 00:08


#3 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 142 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hòa bình
  • Sở thích:Hình , Hàm

Đã gửi 06-02-2017 - 17:45

Em có lời giải sau :

Bổ để : cho $(I),(O)$ trực giao nhau và cắt nhau tại $B,C$ , $D$ thuộc cung nhỏ $BC$ của $(I)$ , $DB$ cắt $(O)$ tại $F$ , $FO$ cắt $(O)$ tại $E$ thì $E,D,C$ thẳng hàng

Chứng minh , Gọi $CF$ cắt $(I)$ tại $A$ , áp dụng Pascal cho bộ $\binom{ABC}{DCB}$ suy ra dpcm

Trở lại bài toán : $BE$ cắt $CF$ trên $(O)$ tại $H$ , ta có  :$H(AQEF)=-1$ nên $HQ$ cắt $(O)$ tại $K$ thì $ABKC$ là tứ giác điều hòa nên $AK$ đối trung , $K$ cố định

Tiếp theo ta sẽ chứng minh $R$ thuộc $HK$ , ta có $\frac{AB}{AC}=\frac{Sin\widehat{BPR}}{Sin\widehat{CPR}}=\frac{BR}{CR}$ ( dó 2 bán kính đường tròn $(BRP),(CRP)$ bằng nhau ) nên $R$ thuộc $(Apolo)$ dựng trên $BC$ và qua $A$ , Mặt khác $(Apolo),(O)$ trực giao nhau nên theo bổ để , $R,H,K$ thẳng hàng

Vậy $RQ$ đy qua $K$ cố định


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ecchi123: 06-02-2017 - 17:49


#4 manhtuan00

manhtuan00

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Hình học, số học, phương trình hàm, tổ hợp

Đã gửi 07-02-2017 - 01:30

Lời giải của em ạ 

Gọi $N$ đối xứng $P$ qua $O$ thì $N,E,B$ thẳng hàng và $N,F,C$ thẳng hàng. $BR,CR$ cắt $NC,NB$ tại $U,V$

$\blacksquare$ Ta chứng minh $AN,UV,BC$ đồng quy

$\angle PCR = \angle PBR$ nên $\angle VCN = \angle UBN \implies U,V,B,C$ đồng viên

$UV$ cắt $BC$ tại $T$ . Gọi $I$ là tâm $(UVBC)$. Theo định lý Brocard, $TR \perp NI$ tại $X$, $AR \perp TI$ tại $Y$

Xét nghịch đảo $ I^N_{NV.NB} : B \rightarrow V, C \rightarrow U,R \rightarrow Y, I \rightarrow X, P \rightarrow W ( W \equiv AO \cap UV)$

Thật vậy ta có $N,W,X,Y$ đồng viên trên đường tròn đường kính $NT$ nên $R,I,P$ thẳng hàng. Từ đây có $NA \perp RI$. Theo Brocard thì $NT \perp RI$ nên $N,T,A$ thẳng hàng.

$\blacksquare$ Ta chứng minh $QR$ đi qua điểm cố định 

Có $N(RT,BC) = F(ET,BC) = -1$ nên $N,Q,R$ thẳng hàng. $RQ$ cắt $(O)$ tại $L$ thì $(AL,BC) = N(AL,BC) = (TQ,BC) = -1 \implies L$ cố định. Vậy $QR$ đi qua $L$ cố định với $L$ thỏa mãn tứ giác $ABLC$ điều hòa


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 07-02-2017 - 01:32






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh