Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Giải phương trình bậc 2 bằng phương pháp hình học


  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản trị
  • 859 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh, Việt Nam
  • Sở thích:toán, toán và.... toán

Đã gửi 06-02-2017 - 15:36

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
 
Đại số đã có từ lâu, những người Babylon vào khoảng 3000 năm trước đều biết về công thức nổi tiếng đề giải phương trình bậc 2. Tuy nhiên, công thức đó lại bắt nguồn từ hình học; họ cần phải giải các phương trình bậc 2 nhằm phục vụ cho việc tính toán diện tích cũng như quản lý đất đai. Nhằm tưởng nhớ đến thành tựu này, chúng ta hãy cùng xem công thức giải phương trình bậc 2 dưới góc nhìn của hình học.
babylonian.jpg
Bút tích của người Babylon vào khoảng 2800 năm trước Công nguyên
Giả sử phương trình bậc 2 cần giải có dạng:
$${{x}^{2}}+px=q$$
với $p$ và $q$ là hai số dương cho trước.
 
Hạng tử ${{x}^{2}}$ là diện tích một mảnh đất hình vuông có cạnh $x$. Hạng tử $px$ chỉ diện tích một hình chữ nhật với độ dài một cạnh là $x$ và cạnh còn lại là $p$. Chúng ta có thể xếp các hình lại với nhau để tạo hình chữ nhật 
figure2.png
Diện tích hình chữ nhật lớn này là ${{x}^{2}}+px$, dựa vào dạng phương trình bậc 2 đề ra, diện tích này bằng $q$. Tuy nhiên chúng ta có thể chuyển thành một hình ‘‘gần’’ hình vuông hơn bằng cách chia miếng hình chữ nhật nhỏ thành hai miếng có cạnh $x$ và ${}^{p}/{}_{2}$ như sau:
figure3.png
và chuyển một miếng xuống đáy hình vuông:
figure4.png
Gọi hình mới này là $R$, và diện tích của hình này vẫn là ${{x}^{2}}+px=q$. Tuy nhiên nếu ta thêm một hình vuông cạnh $p/2$ vào góc nhỏ bên dưới $R$, ta có được hình vuông lớn với cạnh $x+p/2~$và diện tích là ${{\left( x+p/2 \right)}^{2}}$, vậy ta có :
$$\text{Diện tích hình vuông lớn}={{\left( x+\frac{p}{2} \right)}^{2}}=\text{Diện tích } R+{{\left( \frac{p}{2} \right)}^{2}}=q+{{\left( \frac{p}{2} \right)}^{2}}$$
Lấy căn hai vế ta được :
$$x+\frac{p}{2}=\pm \sqrt{q+\frac{{{p}^{2}}}{4}}$$
Trừ $p/2$ ở hai vế ta được
$$x=\pm \sqrt{q+\frac{{{p}^{2}}}{4}}-\frac{p}{2}~~~~~~\left( 1 \right)$$
 
Kết quả này liên quan gì đến phương trình bậc 2 ta đã học trong trường? Ta hay viết dạng tổng quát của phương trình bậc 2 là :
$$a{{x}^{2}}+bx+c=0$$
Với $a\ne 0$ ta chia hai vế cho $a$ để được hệ số của ${{x}^{2}}$ là 1:
$${{x}^{2}}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$
Chuyển vế $\frac{c}{a}$ sang phải, ta có
$${{x}^{2}}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$
Kết hợp với phương trình ở đầu bài, ta đặt $p=\frac{b}{a}$, $q=-\frac{c}{a}$, thay vào $p$ và $q$ ở phương trình (1) ta thu được công thức tổng quát để giải phương trình bậc 2
$$x=\frac{-b\pm \sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}$$
Cho rằng người Babylon biết công thức tổng quát cũng không hẳn đúng, bởi vì trước hết họ không có khái niệm gì về số âm, nghĩa là họ chỉ có thể giải phương trình bậc 2 có nghiệm dương. Hơn nữa họ lại không sử dụng kí hiệu hay phép toán như chúng ta đang làm mà họ sử dụng từ ngữ. Do đó một học sinh Babylon có thể đưa ra câu hỏi đại loại như:
Nếu tôi thêm vào diện tích hình vuông một lượng gấp đôi cạnh hình vuông, tôi được 48, vậy cạnh hình vuông bằng bao nhiêu?
Với bài này, ta đặt $x$ là cạnh hình vuông, chuyển đổi dữ kiện sang phương trình ta có:
$${{x}^{2}}+2x=48$$
Người Babylon biết các bước giải câu hỏi trên – do đó người ta nói người Babylon biết công thức phương trình bậc 2.
 

Người dịch: Nguyễn Văn Sáng Hồng - Thành viên Chuyên san EXP

Bài viết này dịch theo https://plus.maths.o...ratics-pictures

 


Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

logocopy.jpg?t=1339838138


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh