Chủ đề này có 4 trả lời

[hieu31320001]

Cho a,b,c là các số thực dương , CMR

$\sum \frac{(b+c-a)^{2}}{(b+c)^{2}+a^{2}}\geq \frac{3}{5}$

[9nho10mong]

Cho a,b,c là các số thực dương , CMR

$\sum \frac{(b+c-a)^{2}}{(b+c)^{2}+a^{2}}\geq \frac{3}{5}$

 

Từ đẳng thức

$$  \dfrac{\left( b+c-a \right)^2}{ \left( b+c \right)^2 + a^2} -\dfrac{1}{5} - \dfrac{18 \left( b+c-2a \right)}{25 \left( a+b+c \right)} = \dfrac{2 \left( 2a-b-c \right)^2 \left( 7a+b+c \right)}{25 \left( a+b+c \right) \left( a^2 + \left( b+c \right)^2 \right)} $$

Ta có

$$ \left( \sum \dfrac{\left( b+c-a \right)^2}{ \left( b+c \right)^2 + a^2} \right) -\dfrac{3}{5} = \sum  \dfrac{2 \left( 2a-b-c \right)^2 \left( 7a+b+c \right)}{25 \left( a+b+c \right) \left( a^2 + \left( b+c \right)^2 \right)}  \ge 0  $$

Từ đó có điều cần chứng minh. 

[Nguyenhuyen_AG]

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a^2+b^2+c^2>0.$ Chứng minh rằng

$$\sum \frac{(b+c-a)^{2}}{(b+c)^{2}+a^{2}}\geqslant \frac{3}{5}.$$

 

[9nho10mong]

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a^2+b^2+c^2>0.$ Chứng minh rằng

$$\sum \frac{(b+c-a)^{2}}{(b+c)^{2}+a^{2}}\geqslant \frac{3}{5}.$$ 

 

Lời giải của Ji Chen.

 

Từ

$$ 25 \left( a^2+b^2+c^2 \right) \left( b+c-a \right)^2 - \left[ a^2+ \left( b+c \right)^2 \right] \left( 7a^2+4b^2+4c^2 +40bc - 20ca - 20ab \right) = \dfrac{ \left( b+c-2a \right)^2 \left( b+c-3a \right)^2}{2} + \dfrac{ \left( b-c \right)^2}{2} \cdot \left[ 41 a^2 - 50a \left( b+c \right) +41 \left( b+c \right)^2 \right] \ge 0  $$

Suy ra

$$ \sum \dfrac{ \left( b+c-a \right)^2}{ a^2 + \left( b+c \right)^2} \ge \sum \dfrac{7a^2+4b^2+4c^2 +40bc - 20ca - 20ab}{25 \left( a^2+b^2+c^2 \right)} = \dfrac{3}{5} $$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 9nho10mong: 07-02-2017 - 21:56

[Nguyenhuyen_AG]

$$ \sum \dfrac{ \left( b+c-a \right)^2}{ a^2 + \left( b+c \right)^2} \ge \sum \dfrac{7a^2+4b^2+4c^2 +40bc - 20ca - 20ab}{25 \left( a^2+b^2+c^2 \right)} = \dfrac{3}{5} $$

 

Lời giải này của Ji Chen mình cũng biết, đây là là lời giải của mình.

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

\[\sum \frac{(b+c-a)^2}{a^2+(b+c)^2} \geqslant \frac{\displaystyle \left[\sum (b+c-a)^2 \right]^2}{\displaystyle \sum (b+c-a)^2[a^2 + (b+c)^2]} = \frac{3}{5} + \frac{\displaystyle 2\sum \left[4c^2+(3a+3b-5c)^2\right](a-b)^2}{\displaystyle 5\sum (b+c-a)^2\left[(b+c)^2+a^2\right]} \geqslant \frac{3}{5}.\]