Chủ đề này có 1 trả lời

[Thuat ngu]

Cho 2 dãy $\left ( X_{n} \right );\left ( Y_{n} \right )$: $\left\{\begin{matrix} X_{1}=\sqrt{3} & & & & & \\ Y_{1}=\sqrt{3} & & & & & \\ X_{n}=X_{n-1}+\sqrt{1+X_{n-1}^{2}} \forall n\geq 2 & & & & & \\ Y_{n}=\frac{Y_{n-1}}{1+\sqrt{1+Y_{n-1}^{2}}} \forall n\geq 2 & & & & & \end{matrix}\right.$

CMR: $2< X_{n}.Y_{n}< 3 \forall n\geq 2$

                          

      

[An Infinitesimal]

Cho 2 dãy $\left ( X_{n} \right );\left ( Y_{n} \right )$: $\left\{\begin{matrix} X_{1}=\sqrt{3} & & & & & \\ Y_{1}=\sqrt{3} & & & & & \\ X_{n}=X_{n-1}+\sqrt{1+X_{n-1}^{2}} \forall n\geq 2 & & & & & \\ Y_{n}=\frac{Y_{n-1}}{1+\sqrt{1+Y_{n-1}^{2}}} \forall n\geq 2 & & & & & \end{matrix}\right.$

CMR: $2< X_{n}.Y_{n}< 3 \forall n\geq 2$

 

Nhận dạng mối liên hệ hai số hạng liên tiếp của mỗi dãy, ta sẽ liên hệ $\tan \alpha$ và $\tan (2\alpha)$ hoặc $\cot ...$.

 

Ta tìm được $x_n= \cot\dfrac{\pi}{6.2^{n-1}}, y_n= \tan \dfrac{\pi}{3. 2^{n-1}}\, \forall n\in \mathbb{N}.$

 

Đặt $\alpha= \dfrac{\pi}{6.2^{n-1}}, t=\tan \alpha.$

Ta thấy $x_ny_n= \frac{2}{1-t^2}.$

Từ đó dễ dàng suy ra điều cần phải chứng minh.