Chủ đề này có 3 trả lời

[lehakhiem212]

Cho  đa thức $P(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+1$ thỏa mãn $|P(x)|\leq 1, \forall |x|\leq 1.$ Chứng minh rằng $|a|+|b|\leq 5.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 07-02-2017 - 22:28

[IHateMath]

Ta giải bài toán tổng quát hơn: (IMO 1996 A5)

Cho $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$. Chứng minh rằng nếu $P(x)\leq 1$ với mọi $x$ sao cho $|x|\leq 1$ thì

$$|a|+|b|+|c|+|d|\leq 7.$$

Lời giải (Short-list):

Bằng cách xét đa thức $\pm P(\pm x)$, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử $a,\ b\geq 0$. Nếu $c,\ d\geq 0$ thì 

$$|a|+|b|+|c|+|d|=a+b+c+d=P(1)\leq 1.$$

Nếu $d\leq 0$ và $c\geq 0$ thì 

$$|a|+|b|+|c|+|d|=a+b+c+d+2(-d)=P(1)-2P(0)\leq 3.$$

Do đó ta có thể giả sử $c<0$. Có hai trường hợp cần xem xét:

$\bullet$ Trường hợp 1: $c<0,\ d\geq 0$. Ta có:

$$\frac{4}{3}P(1)-\frac{1}{3}P(-1)-\frac{8}{3}P\left(\frac{1}{2}\right) +\frac{8}{3}P\left(\frac{-1}{2}\right) =a+b-c+d=|a|+|b|+|c|+|d|.$$

Do đó

$$|a|+|b|+|c|+|d|\leq \frac{4}{3}+\frac{1}{3}+\frac{8}{3}+\frac{8}{3}=7.$$

$\bullet$ Trường hợp 2: $c<0,\ d<0$. Ta có:

$$\frac{5}{3}P(1)-4P\left(\frac{1}{2}\right) +\frac{4}{3}\left(\frac{-1}{2}\right) =a+b-c-d=|a|+|b|+|c|+|d|.$$

Do đó 

$$|a|+|b|+|c|+|d|\leq \frac{5}{3}+4+\frac{4}{3}=7.\ \square$$

 

[An Infinitesimal]

Ta giải bài toán tổng quát hơn: (IMO 1996 A5)

Cho $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$. Chứng minh rằng nếu $P(x)\leq 1$ với mọi $x$ sao cho $|x|\leq 1$ thì

$$|a|+|b|+|c|+|d|\leq 7.$$

Lời giải (Short-list):

Bằng cách xét đa thức $\pm P(\pm x)$, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử $a,\ b\geq 0$. Nếu $c,\ d\geq 0$ thì 

$$|a|+|b|+|c|+|d|=a+b+c+d=P(1)\leq 1.$$

Nếu $d\leq 0$ và $c\geq 0$ thì 

$$|a|+|b|+|c|+|d|=a+b+c+d+2(-d)=P(1)-2P(0)\leq 3.$$

Do đó ta có thể giả sử $c<0$. Có hai trường hợp cần xem xét:

$\bullet$ Trường hợp 1: $c<0,\ d\geq 0$. Ta có:

$$\frac{4}{3}P(1)-\frac{1}{3}P(-1)-\frac{8}{3}P\left(\frac{1}{2}\right) +\frac{8}{3}P\left(\frac{-1}{2}\right) =a+b-c+d=|a|+|b|+|c|+|d|.$$

Do đó

$$|a|+|b|+|c|+|d|\leq \frac{4}{3}+\frac{1}{3}+\frac{8}{3}+\frac{8}{3}=7.$$

$\bullet$ Trường hợp 2: $c<0,\ d<0$. Ta có:

$$\frac{5}{3}P(1)-4P\left(\frac{1}{2}\right) +\frac{4}{3}\left(\frac{-1}{2}\right) =a+b-c-d=|a|+|b|+|c|+|d|.$$

Do đó 

$$|a|+|b|+|c|+|d|\leq \frac{5}{3}+4+\frac{4}{3}=7.\ \square$$

Thêm một gợi mở! Các giá trị $ \pm 1, \pm \frac{1}{2}$ có thay thế bởi các giá trị khác hay không? Nếu không thì đặc trưng của chúng là gì? (Chúng đến từ đâu?)

[IHateMath]

Thêm một gợi mở! Các giá trị $ \pm 1, \pm \frac{1}{2}$ có thay thế bởi các giá trị khác hay không? Nếu không thì đặc trưng của chúng là gì? (Chúng đến từ đâu?)

Cái này liên quan tới đa thức Chebyshev ạ. (em từng đọc lướt qua tài liệu này nên biết vậy).