Cho đa thức $P(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+1$ thỏa mãn $|P(x)|\leq 1, \forall |x|\leq 1.$ Chứng minh rằng $|a|+|b|\leq 5.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 07-02-2017 - 22:28
Ta giải bài toán tổng quát hơn: (IMO 1996 A5)
Cho $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$. Chứng minh rằng nếu $P(x)\leq 1$ với mọi $x$ sao cho $|x|\leq 1$ thì
$$|a|+|b|+|c|+|d|\leq 7.$$
Lời giải (Short-list):
Bằng cách xét đa thức $\pm P(\pm x)$, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử $a,\ b\geq 0$. Nếu $c,\ d\geq 0$ thì
$$|a|+|b|+|c|+|d|=a+b+c+d=P(1)\leq 1.$$
Nếu $d\leq 0$ và $c\geq 0$ thì
$$|a|+|b|+|c|+|d|=a+b+c+d+2(-d)=P(1)-2P(0)\leq 3.$$
Do đó ta có thể giả sử $c<0$. Có hai trường hợp cần xem xét:
$\bullet$ Trường hợp 1: $c<0,\ d\geq 0$. Ta có:
$$\frac{4}{3}P(1)-\frac{1}{3}P(-1)-\frac{8}{3}P\left(\frac{1}{2}\right) +\frac{8}{3}P\left(\frac{-1}{2}\right) =a+b-c+d=|a|+|b|+|c|+|d|.$$
Do đó
$$|a|+|b|+|c|+|d|\leq \frac{4}{3}+\frac{1}{3}+\frac{8}{3}+\frac{8}{3}=7.$$
$\bullet$ Trường hợp 2: $c<0,\ d<0$. Ta có:
$$\frac{5}{3}P(1)-4P\left(\frac{1}{2}\right) +\frac{4}{3}\left(\frac{-1}{2}\right) =a+b-c-d=|a|+|b|+|c|+|d|.$$
Do đó
$$|a|+|b|+|c|+|d|\leq \frac{5}{3}+4+\frac{4}{3}=7.\ \square$$
Ta giải bài toán tổng quát hơn: (IMO 1996 A5)
Cho $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$. Chứng minh rằng nếu $P(x)\leq 1$ với mọi $x$ sao cho $|x|\leq 1$ thì
$$|a|+|b|+|c|+|d|\leq 7.$$
Lời giải (Short-list):
Bằng cách xét đa thức $\pm P(\pm x)$, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử $a,\ b\geq 0$. Nếu $c,\ d\geq 0$ thì
$$|a|+|b|+|c|+|d|=a+b+c+d=P(1)\leq 1.$$
Nếu $d\leq 0$ và $c\geq 0$ thì
$$|a|+|b|+|c|+|d|=a+b+c+d+2(-d)=P(1)-2P(0)\leq 3.$$
Do đó ta có thể giả sử $c<0$. Có hai trường hợp cần xem xét:
$\bullet$ Trường hợp 1: $c<0,\ d\geq 0$. Ta có:
$$\frac{4}{3}P(1)-\frac{1}{3}P(-1)-\frac{8}{3}P\left(\frac{1}{2}\right) +\frac{8}{3}P\left(\frac{-1}{2}\right) =a+b-c+d=|a|+|b|+|c|+|d|.$$
Do đó
$$|a|+|b|+|c|+|d|\leq \frac{4}{3}+\frac{1}{3}+\frac{8}{3}+\frac{8}{3}=7.$$
$\bullet$ Trường hợp 2: $c<0,\ d<0$. Ta có:
$$\frac{5}{3}P(1)-4P\left(\frac{1}{2}\right) +\frac{4}{3}\left(\frac{-1}{2}\right) =a+b-c-d=|a|+|b|+|c|+|d|.$$
Do đó
$$|a|+|b|+|c|+|d|\leq \frac{5}{3}+4+\frac{4}{3}=7.\ \square$$
Thêm một gợi mở! Các giá trị $ \pm 1, \pm \frac{1}{2}$ có thay thế bởi các giá trị khác hay không? Nếu không thì đặc trưng của chúng là gì? (Chúng đến từ đâu?)
Đời người là một hành trình...
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh