Chủ đề này có 4 trả lời

[nqtduc2605]

Cho a,b,c > 0

CMR : 

$\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c} + \dfrac{c^2+a^2}{c+a} \leq \dfrac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$

[9nho10mong]

Cho a,b,c > 0

CMR : 

$\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c} + \dfrac{c^2+a^2}{c+a} \leq \dfrac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$

Bất đẳng thức đề bài đúng bởi vì

$$ \dfrac{3 \left( a^2+b^2+c^2 \right)}{a+b+c} - \sum \dfrac{a^2+b^2}{a+b} = \dfrac{  \sum ab \left( a+b \right) \left( a- b \right)^2 }{\left( a+b \right) \left( b+c \right) \left( c+a \right) \left( a+b+c \right)} \ge 0  $$

[Nguyenhuyen_AG]

Cho a,b,c > 0

CMR : 

$\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c} + \dfrac{c^2+a^2}{c+a} \leq \dfrac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$

 

Giả sử $c=\max\{a,b,c\}.$ Bất đẳng thức này tương đương với

\[\frac{2ab(a-b)^2}{(a+b+c)(b+c)(c+a)}+\frac{[ab(a+b+2c)+a(c^2-a^2)+b(c^2-b^2)](a-c)(b-c)}{(a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a)} \geqslant 0.\]

Hiển nhiên đúng.

[nqtduc2605]

Mọi người biến đổi kiểu gì mà "thánh" vậy?

[Nguyenhuyen_AG]

Mọi người biến đổi kiểu gì mà "thánh" vậy?

 

Dùng phương pháp hệ số bất định, để tìm được đẳng thức

$$ \dfrac{3 \left( a^2+b^2+c^2 \right)}{a+b+c} - \sum \dfrac{a^2+b^2}{a+b} = \frac{1}{a+b+c}\sum\dfrac{ab\left( a- b \right)^2 }{\left( b+c \right) \left( c+a \right) },$$

bạn phải giải một hệ phương trình $34$ ẩn như sau

 - 1 = m12 - 2*m11 - m13 + m26 + m4 - 2*m6 + m1 + m3 + m8,
 - 1 =  - m13 - 2*m4 + m5 + m3 + m6 - 2*m12 + m11 + m19 + m2,
 - 1 =  - m13 + m8 + m4 - 2*m6 + m1 - 2*m11 + m12 + m20 + m3,
 - 1 =  - m13 + m11 - 2*m12 + m22 + m3 + m6 - 2*m4 + m2 + m5,
 - 1 =  - m13 - 2*m12 + m11 + m25 + m6 - 2*m4 + m2 + m5 + m3,
 - 1 =  - m13 + m12 - 2*m11 + m21 + m3 + m8 + m4 - 2*m6 + m1,
0 = m11 + m12 + m14 + m2 + m1,
0 = m11 + m12 + m15 + m1 + m2,
0 = m12 + m11 + m16 + m2 + m1,
0 = m29 - 2*m13 - 2*m9 + 2*m10 - 2*m7 - 2*m3,
0 = m31 - 2*m13 - 2*m7 + 2*m10 - 2*m3 - 2*m9,
0 = m34 - 2*m13 - 2*m3 + 2*m10 - 2*m9 - 2*m7,
0 = m30 + m11 + m12 + 2*m13 + m7 + m9 - 2*m10 - m5 - m8,
0 = m32 + 2*m13 + m7 - m8 - m5 + m9 - 2*m10 + m11 + m12,
0 = m33 + 2*m13 - m5 + m9 - 2*m10 - m8 + m7 + m12 + m11,
1 =  - m11 + m13 + m17 + m7 - 2*m2 + m4,
1 =  - m11 + m13 + m24 - 2*m2 + m4 + m7,
1 =  - m12 + m13 + m18 + m9 - 2*m1 + m6,
1 =  - m12 + m13 + m23 + m9 - 2*m1 + m6,
1 =  - m12 + m13 + m27 - 2*m1 + m6 + m9,
1 = m13 - m11 + m28 - 2*m2 + m4 + m7

\[\frac{2ab(a-b)^2}{(a+b+c)(b+c)(c+a)}+\frac{[ab(a+b+2c)+a(c^2-a^2)+b(c^2-b^2)](a-c)(b-c)}{(a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a)} \geqslant 0.\]

Còn đẳng thức này là phương pháp S-S.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 09-02-2017 - 00:14