Cho tứ diện $ABCD$ với $AB$ vuông góc với $CD$, tam giác BCD vuông góc tại C có $\widehat{BDC}= 30^{0}$. $M$ là điểm di động trên cạnh $BD$, $\alpha$ là mặt phẳng qua M song song với $AB$ và $CD$
a/ $\alpha$ cắt tứ diện $ABCD$ theo một thiết diện hình gì?
b/ Giả sử $AB$ = $BD$ = $\alpha$, $BM$ = $x$. Tính diện tích $S$ của thiết diện theo $a$ và $x$
c/ Vẫn lấy giả thiết trong câu $b)$. Xác định $x$ để thiết diện có $2$ đường chéo vuông góc.
Sửa lại đề : $AB=BD=a$
a) Giả sử thiết diện là $MNPQ$ ($N\in BC$ ; $P\in AC$ ; $Q\in AD$)
$\alpha //CD\Rightarrow MN//CD//PQ$
$\alpha //AB\Rightarrow NP//AB//QM$
$\Rightarrow$ thiết diện $MNPQ$ là hình chữ nhật
b) $MN=CD.\frac{BM}{BD}=a.\cos30^o.\frac{x}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ x$
$NP=AB.\frac{CN}{CB}=AB.\frac{DM}{BD}=a.\frac{a-x}{a}=a-x$
$\Rightarrow S_{MNPQ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ x(a-x)$
c) Hình chữ nhật $MNPQ$ có $MP$ _|_ $NQ$ $\Leftrightarrow MN=NP\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}\ x=a-x$
$\Leftrightarrow x=\frac{2a}{2+\sqrt{3}}=\left ( 4-2\sqrt{3} \right )a$.
