Chủ đề này có 1 trả lời

[Chika Mayona]

Cho hình chóp $S.ABCD$ với $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $SAD$ là tam giác đều. Gọi $M$ là một điểm thuộc đoạn $AB$, $\alpha$ là mặt phẳng qua M song song với $(SAD)$ cắt $CD$, $SC$, $SB$ lần lượt tại $N$, $P$, $Q$.

$a)$ Chứng minh $MNPQ$ là hình thang cân

$b)$ Gọi $I$ là giao điểm của $MQ$ và $NP$. Tìm tập hợp các điểm $I$ khi $M$ chạy từ $A$ đến $B$

$c)$ Đặt $AM = x$. Tính diện tích $MNPQ$ theo $a$ và $x$

 

[chanhquocnghiem]

Cho hình chóp $S.ABCD$ với $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $SAD$ là tam giác đều. Gọi $M$ là một điểm thuộc đoạn $AB$, $\alpha$ là mặt phẳng qua M song song với $(SAD)$ cắt $CD$, $SC$, $SB$ lần lượt tại $N$, $P$, $Q$.

$a)$ Chứng minh $MNPQ$ là hình thang cân

$b)$ Gọi $I$ là giao điểm của $MQ$ và $NP$. Tìm tập hợp các điểm $I$ khi $M$ chạy từ $A$ đến $B$

$c)$ Đặt $AM = x$. Tính diện tích $MNPQ$ theo $a$ và $x$

a) $\alpha //(SAD)\Rightarrow MN//AD\Rightarrow MN//BC$

    Vì $\left\{\begin{matrix}\alpha \cap (ABCD)=MN\\(ABCD)\cap (SBC)=BC\\(SBC)\cap \alpha =PQ\\MN//BC \end{matrix}\right.\Rightarrow MN//BC//PQ$

    Mặt khác $\alpha //(SAD)\Rightarrow MQ//SA$ và $NP//SD\Rightarrow \widehat{QMN}=\widehat{SAD}=\widehat{SDA}=\widehat{PNM}$

   $\Rightarrow MNPQ$ là hình thang cân.

 

b) Gọi $(SAB)\cap (SCD)=Sx\Rightarrow Sx//AB//CD$

    $\left\{\begin{matrix}I\in MQ\subset (SAB)\\I\in NP\subset (SCD) \end{matrix}\right.\Rightarrow I\in (SAB)\cap (SCD)\Rightarrow I\in Sx$

    Khi $M$ chạy từ $A$ đến $B$ thì $\Delta IMN$ tịnh tiến theo vector $\overrightarrow{AB}\Rightarrow I$ chạy từ $S$ đến $K$ ($K\in Sx$ sao cho $\overrightarrow{SK}=\overrightarrow{AB}$)

    Vậy tập hợp cần tìm là đoạn $SK$ sao cho $\overrightarrow{SK}=\overrightarrow{AB}$.

 

c) Ta có :

    $MN=AD=a$

    $\frac{PQ}{BC}=\frac{SQ}{SB}=\frac{AM}{AB}\Rightarrow PQ=AM=x$

    Gọi $H,L$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$.Gọi $E=SL\cap PQ$ ; $F=HL\cap MN$

    $\frac{EQ}{LB}=\frac{SE}{SL}=\frac{EP}{LC}\Rightarrow EQ=EP$

    Lại có $FM=FN$ $\Rightarrow EF$ là đường cao hình thang cân $MNPQ$

    $EF=SH.\frac{LF}{LH}=SH.\frac{BM}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ a.\frac{a-x}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ (a-x)$

    $\Rightarrow S_{MNPQ}=\frac{(MN+PQ).EF}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\ (a^2-x^2)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 09-02-2017 - 13:01