Chủ đề này có 2 trả lời

[Thuat ngu]

Cho $\left ( X_{n} \right )$ thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} \left | X_{1} \right |< 1 & & \\ X_{n+1}=\frac{-X_{n}+\sqrt{3-3X_{n}^{2}}}{2}& & \end{matrix}\right.$

Tìm điều kiện $X_{1}$ để dãy gồm toàn số dương.

[An Infinitesimal]

Cho $\left ( X_{n} \right )$ thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} \left | X_{1} \right |< 1 & & \\ X_{n+1}=\frac{-X_{n}+\sqrt{3-3X_{n}^{2}}}{2}& & \end{matrix}\right.$

Tìm điều kiện $X_{1}$ để dãy gồm toàn số dương.

Nếu $x_n\in (-1,1]$ thì $x_n= \cos\alpha_n$, ta có $x_{n+1}= -\frac{1}{2}\cos{\alpha_n}+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha_n=\cos{\left(\alpha_n-\frac{2\pi}{3} \right)}.$

 

Vì thế $\alpha_{n+1}= \alpha_n-\frac{2\pi}{3} \forall n\ge 1.$

Suy ra $\alpha_n=\alpha_1-\frac{2\pi}{3}(n-1) \forall n\in \mathbb{N}.$

 

Yêu cầu bài toán tương đương tìm $\alpha_1\in (-\pi/2, \pi/2):$ sao cho $\forall n\in \mathbb{N}$, tồn tại $k\in \mathbb{Z}: \alpha_1-\frac{2\pi}{3}(n-1)\in (-\pi/2+k2\pi, \pi/2+k2\pi).$

 

ĐK cần vả đủ: Chỉ cần ràng buộc cho $n=1, 2, 3$

$\alpha_1-\frac{2\pi}{3}(n-1)\in (-\pi/2, \pi/2).$

Từ đó ta thu được điều kiện cho $x_1.$

 

Đang nghĩ về một hướng đơn giản để xử lý bài toán mới này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 10-02-2017 - 15:06

[Thuat ngu]

Nếu $x_n\in (-1,1]$ thì $x_n= \cos\alpha_n$, ta có $x_{n+1}= -\frac{1}{2}\cos{\alpha_n}+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha_n=\cos{\left(\alpha_n-\frac{2\pi}{3} \right)}.$

 

Vì thế $\alpha_{n+1}= \alpha_n-\frac{2\pi}{3} \forall n\ge 1.$

Suy ra $\alpha_n=\alpha_1-\frac{2\pi}{3}(n-1) \forall n\in \mathbb{N}.$

 

Yêu cầu bài toán tương đương tìm $\alpha_1\in (-\pi/2, \pi/2):$ sao cho $\forall n\in \mathbb{N}$, tồn tại $k\in \mathbb{Z}: \alpha_1-\frac{2\pi}{3}(n-1)\in (-\pi/2+k2\pi, \pi/2+k2\pi).$

 

ĐK cần vả đủ: Chỉ cần ràng buộc cho $n=1, 2, 3$

$\alpha_1-\frac{2\pi}{3}(n-1)\in (-\pi/2, \pi/2).$

Từ đó ta thu được điều kiện cho $x_1.$

 

Đang nghĩ về một hướng đơn giản để xử lý bài toán mới này.

Cái chỗ cuối anh có thể viết chi tiết giùm em được không? Em làm thì nó ra như sau:

+, n=1 => $\alpha _{1}\epsilon \left ( \frac{-\Pi }{2} ;\frac{\Pi }{2}\right )$

+, n=2 => $\alpha _{1}\epsilon \left ( \frac{\Pi }{6} ;\frac{7\Pi }{6}\right )$

+, n=3 => $\alpha _{1}\epsilon \left ( \frac{5\Pi }{6};\frac{11\Pi }{6} \right )$

Kết hợp mấy Đk này vào thì không tồn tại $\alpha _{1}$?