Chủ đề này có 1 trả lời

[studentlovemath]

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A(1;2;-1), B(0;4;0) và mặt phẳng $(P):2x-y-2z+2015=0$. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A,B và tạo với (P) một góc nhỏ nhất

[vkhoa]

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A(1;2;-1), B(0;4;0) và mặt phẳng $(P):2x-y-2z+2015=0$. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A,B và tạo với (P) một góc nhỏ nhất

Gọi d là giao tuyến giữa (P) và (Q)

AB cắt (P) tại I

hạ AH vuông góc (P) tại H

hạ HK vuông góc d tại K

mà AH vuông góc d

$\Rightarrow$ d vuông góc (AHK)

$\Rightarrow$AK vuông góc d

$\Rightarrow\widehat{AKH}$ là góc giữa (P) và (Q)

ta có tam giác AKH vuông tại H và AH không đổi

$\Rightarrow\widehat{AKH}$ nhỏ nhất khi HK dài nhất

$\Leftrightarrow$ K trùng I

$\Leftrightarrow$ d vuông góc HI

d vuông góc AB và vuông góc AH

$\Rightarrow$ vecto chỉ phương của d  $\overrightarrow{u_d} =$tích có hướng$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_{(P)}})$(n là véctơ pháp)

$=(-3, 0, -3)$

$\overrightarrow{n_{(Q)}} =$tích có hướng$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{u_d})$

$=(6, 6, -6) =(1, 1, -1)$

$\Rightarrow$ pt Q là $(x -1) +(y -2) -(z +1) =0$

$\Leftrightarrow x +y -z -4 =0$