Chủ đề này có 3 trả lời

[LoveMath1234]

Cho các số thực dương a,b,c sao cho: $a^2+b^2+c^2=3$

Chứng minh rằng: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$

[phamngochung9a]

Cho các số thực dương a,b,c sao cho: $a^2+b^2+c^2=3$

Chứng minh rằng: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

$\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )\geq 9\\\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq 6$

• Ta có: $\left ( \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b} \right )^{2}\geq 3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )=9\Rightarrow \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq 3 \quad \quad (1)$
• Theo bất đẳng thức $\text{Cauchy-Schwarz}$: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}\\\geq \frac{9}{\sqrt{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\left ( a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} \right )}}\geq \frac{9}{\sqrt{3.\frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}{3}}}=3 \quad \quad (2)$

Cộng từng vế $(1)$ và $(2)$, ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 09-02-2017 - 19:25

[Master Kaiser]

Cho các số thực dương a,b,c sao cho: $a^2+b^2+c^2=3$

Chứng minh rằng: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$

Ta có $a\leq ab;b\leq bc;c\leq ca\Rightarrow ab+bc+ca\geq a+b+c\Leftrightarrow ab+bc+ca-a-b-c\geq 0\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)-a-b-c\geq ab+bc+ca$

Mà $ab^2+bc^2+ca^2\geq 2(ab+bc+ca)-a-b-c$

$\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2\geq ab+bc+ca$

$\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$

Dấu = khi x=y=z=1

 

Làm ntn có đúng k nhỉ ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Master Kaiser: 09-02-2017 - 19:37

[Zz Isaac Newton Zz]

Cho các số thực dương a,b,c sao cho: $a^2+b^2+c^2=3$

Chứng minh rằng: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$

Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ thì ta có $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)}{ab+bc+ca}=\frac{3+2(ab+bc+ca)}{ab+bc+ca}=\frac{3}{ab+bc+ca}+2.$ Ta cần chứng minh $\frac{3}{ab+bc+ca}+2\geq \frac{9}{a+b+c}.$ Đặt $a+b+c=p; ab+bc+ca=q$ thì giả thiết $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3\Leftrightarrow p^{2}-2q=3\Leftrightarrow q=\frac{p^{2}-3}{2}.$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương $\frac{3}{q}+2\geq \frac{9}{p}\Leftrightarrow \frac{6}{p^{2}-3}+2-\frac{9}{p}\geq 0\Leftrightarrow 2p^{^{3}}-9p^{2}+27\geq 0\Leftrightarrow (p-3)^{2}.(2p+3)\geq 0$ ( đúng vì $a, b, c> 0$ nên $p=a+b+c> 0$ ). Vậy ta có điều phải chứng minh.