Chủ đề này có 1 trả lời

[Chika Mayona]

Cho một tam giác đều $ABC$ cạnh $a$. Tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác $ABC$, tam giác $A_{2}B_{2}C_{2}$ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$, ... , tam giác $A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}$ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác $A_{n}B_{n}C_{n}$, ... Gọi $p_1$, $p_2$, ... $p_n$ và $S_1$, $S_2$, ... $S_n$ ... theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$, $A_{2}B_{2}C_{2}$, ... $A_{n}B_{n}C_{n}$...

$a)$ Tìm giới hạn của các dãy số $(p_n)$ và $(S_n)$

$b)$ Tính các tổng: $p_1 + p_2 + ... p_n ...$ và $S_1 + S_2 + ... S_n ...$

[Thuat ngu]

Cho một tam giác đều $ABC$ cạnh $a$. Tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác $ABC$, tam giác $A_{2}B_{2}C_{2}$ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$, ... , tam giác $A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}$ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác $A_{n}B_{n}C_{n}$, ... Gọi $p_1$, $p_2$, ... $p_n$ và $S_1$, $S_2$, ... $S_n$ ... theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$, $A_{2}B_{2}C_{2}$, ... $A_{n}B_{n}C_{n}$...

$a)$ Tìm giới hạn của các dãy số $(p_n)$ và $(S_n)$

$b)$ Tính các tổng: $p_1 + p_2 + ... p_n ...$ và $S_1 + S_2 + ... S_n ...$

a, Ta thấy: $P_{2}=\frac{1}{2}.P_{1}; P_{3}=\frac{1}{2^{2}}.P_{1};...;P_{n}=\frac{1}{2^{n-1}}.P_{1}$ (Dùng quy nạp)

  =>$limP_{n}=lim\frac{P_{1}}{2^{n-1}}=0$

Còn $S_{n}$ làm tương tự nhé!

b, Ta thấy $P_{1}, P_{2},...,P_{n}$ lập thành cấp số nhân với công bội là $\frac{1}{2}$ nên

      $P_{1}+P_{2}+...+P_{n}=P_{1}.\frac{1-\frac{1}{2^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$$= 6a\left ( 1-\frac{1}{2^{n}} \right )$

Còn $S_{1}+S_{2}+...+S_{n}$ làm tương tự nhé!