Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Hàm số bị lãng quên: haversin


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3787 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 09-02-2017 - 23:51

Ta đã biết sin, cô-sin, tang và cô-tang là các hàm lượng giác quen thuộc với chúng ta. Nhưng có lẽ bạn chưa biết đến một hàm lượng giác khá quan trọng. Nó được gọi là haversin và được định nghĩa qua hàm sin như sau:

$$\text{haversin}(x ) = \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)$$

Thuật ngữ haversin có lẽ được xuất phát từ cụm từ "half versed sine". Để thấy hàm số này có ứng dụng gì, bạn hãy đặt mình vào vị trí người du khách dũng cảm trên một chuyến đi biển từ Liverpool đến New York. Điều đầu tiên bạn muốn biết là quãng đường đó dài bao nhiêu? Bỏ qua các đảo, bãi san hô, dòng biển và các yếu tố bất lợi khác, ta có thể nói rằng bạn sẽ chu du trên con đường ngắn nhất nối hai thành phố đó. Ta đã biết, con đường ngắn nhất nối hai điểm bất kì là đoạn thẳng. Nhưng sự thật đó không giúp gì cho bạn trong hoàn cảnh này. Đường thẳng nối Liverpool với New York sẽ đâm xuyên bề mặt Trái Đất. Chắc là bạn không định đào đường hầm đấy chứ?

 

Cái bạn cần là 1 đường ngắn nhất nối hai điểm trên bề mặt Trái Đất (Ta có thể coi Trái Đất là một hình cầu). Trên hình cầu, đường ngắn nhất nối hai điểm là dọc theo cung tròn trên Đường tròn lớn đi qua 2 điểm đó. Đường tròn lớn là giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng đi qua tâm mặt cầu. Hai điểm bất kì trên đường tròn lớn chia đường tròn này làm hai cung. Khoảng cách ta cần xét là cung nhỏ.

 

greatcircle.png

 

Bây giờ làm thế nào để tính được khoảng cách giữa hai điểm $P$ và $Q$ trên đường tròn lớn của Trái Đất? Giả sử các điểm $P,Q$ có vĩ độ lần lượt là $\phi _ P, \phi _ Q,$ và kinh độ lần lượt là $\lambda _ P$ and $\lambda _ Q.$

Gọi $R$ là bán kính Trái Đất, ta có $R \approx 6371 km$. Khoảng cách giữa hai điểm $P,Q$ trên đường tròn lớn được tìm từ công thức:

\begin{equation} \label{eq:1} \sin ^2{\left(\frac{d}{2R}\right)} = \sin ^2{\left(\frac{\phi _2-\phi _1}{2}\right)} + \cos {\phi _1}\cos {\phi _2} \sin ^2{\left(\frac{\lambda _2-\lambda _1}{2}\right)}\end{equation}

(Các góc được dùng đơn vị radian)

Giải phương trình tìm $d$, ta có:

\begin{equation} \label{eq:2} d = 2R \sin ^{-1}{\left(\sqrt {\sin ^2{\left(\frac{\phi _2-\phi _1}{2}\right)} + \cos {\phi _1}\cos {\phi _2} \sin ^2{\left(\frac{\lambda _2-\lambda _1}{2}\right)}}\right)}\end{equation} 

Bạn sẽ thấy ngay rằng đây là 1 công thức phức tạp. Nếu bạn là một thủy thủ từ hàng trăm năm trước, bạn chỉ được trang bị bảng giá trị sin và cos thì sử dụng công thức trên là cả một vấn đề. Có một căn bậc hai và một hàm lượng giác ngược.

Nếu ta thay biểu thức $\sin ^2(\theta /2)$ bằng hàm haversin thì công thức $\eqref{eq:1}$ trở thành

$$\text{haversin} \left(\frac{d}{R}\right) = \text{haversin}\left(\phi _2-\phi _1\right) + \cos {\phi _1}\cos {\phi _2} \text{haversin}\left(\lambda _2-\lambda _1\right).$$

Khoảng cách $d$ sẽ thành:

$$d = R \text{haversin} ^{-1}\left(\text{haversin}\left(\phi _2-\phi _1\right) + \cos {\phi _1}\cos {\phi _2} \text{haversin}\left(\lambda _2-\lambda _1\right)\right)$$

Việc tìm khoảng cách giữa hai điểm trên đường tròn lớn rất quan trọng trong hàng hải. Vỉ thế, ngày xưa, người ta còn cho in các bảng giá trị hàm haversin cũng như hàm haversin ngược. Nó giúp cho các thủy thủ thuận tiện hơn. Ngày nay, dù bài toán trên vẫn rất quan trọng với cả hàng không và hàng hải nhưng nhờ có máy tính điện tử, người ta chỉ cần dùng công thức $\eqref{eq:2}$. Đó là lý do vì sao bạn không còn nhìn thấy nút haversin trên chiếc máy tính bỏ túi của bạn nữa.

 

Quay trở lại bài toán, Liverpool có tọa độ là $(53.4^\circ ;-3^\circ )$, còn New York có tọa độ $(40.71^\circ ;-74^\circ )$. Các tọa độ có đơn vị là độ. Đổi chúng sang radian (bằng cách nhân với $\frac{\pi}{180}$), ta có: $\phi _ L = 0.932$ và $\lambda _ L=-0.052$ là tọa độ Liverpool, còn $\phi _{NY} = 0.71$ và $\lambda _{NY}=-1.291$ cho New York (làm tròn đến 3 chữ số thập phân). Áp dụng công thức $\eqref{eq:2}$, ta có kết quả $5313$ km.

 

Có thời gian, báo chí Việt Nam bàn luận về đường bay vàng nối Hà Nội với Thành phố Hồ Chí Minh. Bạn hãy thử tính xem đường bay vàng đó dài bao nhiêu. Biết Hà Nội ở tọa độ $(27.175015;78.042155)$, còn TP Hồ Chí Minh có tọa độ $(10.595294;106.411536)$.

 

 

 

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2 viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:~NGT~

Đã gửi 10-02-2017 - 13:19

210,4994791 km đúng không ạ 


                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh