Bài 1: Cho tập hợp . CMR với mỗi tập hợp con B gồm 5 phần tử của A thì trong các tổng x + y với x, y khác nhau thuộc B luôn tồn tại ít nhất hai tổng có chữ số hang đơn vị như nhau.
Bài 2: CMR không thể chia đa giác 13 cạnh thành các hình bình hành.
Bài 3: CMR từ 8 số nguyên dương tùy ý không lớn hơn 20 ta luôn chọn được ba số x, y, z là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Bài 4: Bên trong đường tròn tâm O bán kính bằng 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn hơn hoặc bằng 1. CMR điểm O nằm trong hoặc trên cạnh của tam giác ABC.
Bài 5: Cho lưới ô vuông kích thước 7x7, mỗi ô vuông được điền số 1 hoặc -1. Kí hiệu ai là tích các số hang thứ i và bj là tích các số ở cột thứ j . CMR
.
Bài 6: CMR trong 2007 số khác nhau tùy ý được lấy từ tập hợp có ít nhất hai số x, y thõa mãn
Bài 7: Cho 11 hình chữ I
và 1 hình chữ L
Chứng minh rằng từ các hình này không thể ghép lại được hình vuông kích thước 6x6
Bài 8: Cho tứ giác lồi 4 cạnh a, b, c, d đều là các số nguyên dương. CMR nếu độ dài mỗi cạnh đều là các ước số của chu vi tứ giác này thì tứ giác đó có ít nhất hai cạnh bằng nhau.
Bài 9: Có hay không số nguyên dương có tổng các chữ số bằng 11, có tận cùng bằng 11 và chia hết cho 11.
Bài 10: CMR từ hình tròn bán kính bằng 1 thì không thể cắt ra hai tam giác mà mỗi tam giác có diện tích lớn hơn 1
Bài 11: Chia được hay không một hình vuông thành các nửa tam giác đều bằng nhau.
Bài 12: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy một điểm A ( x; y) được gọi là điểm nguyên nếu x,y thuộc Z . Giả sử A1 A2….An là một n giác lồi có tất cả các đỉnh là điểm nguyên. Biết rằng miền đa giác đó( bao gồm tất cả các điểm thuộc miền trong và thuộc biên) không chứa bất kì điểm nguyên nào ngoài các đỉnh A1; A2….;An . CMR
Bài 13: Mỗi điểm thuộc mặt phẳng được tô bởi một trong ba màu. CMR luôn có hai điểm được tô cùng màu cách nhau một khỏng d (d>0) cho trước .
