Chủ đề này có 1 trả lời

[Minato Namikaze]

Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(4x)+f(9x)=2f(6x), \forall x \in \mathbb{R}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 12-02-2017 - 21:18

[Baoriven]

Trong trường hợp bài này có điều kiện $f$ liên tục. Nếu có thế sẽ giải như sau:

Trước hết ta được: $f(0)=0$ bằng cách thay $x=0$.

Viết lại như sau: $f(4x)-f(6x)=f(6x)-f(9x)$.

Suy ra: $g(2x)=g(3x)$ với $g(x)=f(2x)-f(3x)$ và từ đó $g(0)=0$.

Hay: $g(x)=g(\frac{2}{3}x)=...=g((\frac{2}{3})^nx)$.      $(*)$

Do $f$ liên tục nên $g$ liên tục.

Do đó từ $(*)$ suy ra: $g(x)=0$.

Từ đó ta chứng minh tương tự thu được $f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R}$.

 

Trong trường hợp không có điều kiện liên tục mình nghĩ kết quả sẽ là:

$f(x)=\left\{\begin{matrix}f(0)=0 \\ f(x)=ln|x|,\forall x\neq 0 \end{matrix}\right.$

Mình vẫn chưa có ý tưởng cho trường hợp này...