Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq abc+2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Thanh Nam 11

Thanh Nam 11

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 23 Bài viết

Đã gửi 11-02-2017 - 19:45

Cho a,b,c >0, $a^2+b^2+c^2=3$. 

CMR $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq abc+2$



#2 phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 480 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\text{Planet Vegeta}$
  • Sở thích:${\color{Cyan}{\boxed{{\color{Yellow}{\boxed{{\color{blue}
    \bigstar}}\boxed{\color{red}{\text{Dragon ball}}}\boxed{{\color{Green}\bigstar}}}}}}}$

Đã gửi 11-02-2017 - 22:21

Cho a,b,c >0, $a^2+b^2+c^2=3$. 

CMR $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq abc+2$

Không mất tính tổng quát, giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$. Khi đó:

 

$\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\geq 0\Rightarrow ac+b^{2}\leq ab+bc\\\Rightarrow b^{2}c+c^{2}a\leq abc+bc^{2}\\\Rightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq abc+b\left ( a^{2}+c^{2} \right )=abc+b\left ( 3-b^{2} \right )$

 

Do đó, ta chỉ cần chứng minh: 

 

$b\left ( 3-b^{2} \right )\leq 2\Leftrightarrow \left ( b-1 \right )^{2}\left ( b+2 \right )\geq 0$  (đúng)

 

Vậy bất đẳng thức đầu đúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$ 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh