Cho a,b,c >0, $a^2+b^2+c^2=3$.
CMR $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq abc+2$
Cho a,b,c >0, $a^2+b^2+c^2=3$.
CMR $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq abc+2$
Cho a,b,c >0, $a^2+b^2+c^2=3$.
CMR $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq abc+2$
Không mất tính tổng quát, giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$. Khi đó:
$\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\geq 0\Rightarrow ac+b^{2}\leq ab+bc\\\Rightarrow b^{2}c+c^{2}a\leq abc+bc^{2}\\\Rightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq abc+b\left ( a^{2}+c^{2} \right )=abc+b\left ( 3-b^{2} \right )$
Do đó, ta chỉ cần chứng minh:
$b\left ( 3-b^{2} \right )\leq 2\Leftrightarrow \left ( b-1 \right )^{2}\left ( b+2 \right )\geq 0$ (đúng)
Vậy bất đẳng thức đầu đúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh