Đến nội dung

Hình ảnh

CMR $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq abc+2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Thanh Nam 11

Thanh Nam 11

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 23 Bài viết

Cho a,b,c >0, $a^2+b^2+c^2=3$. 

CMR $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq abc+2$



#2
phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THPT
  • 480 Bài viết

Cho a,b,c >0, $a^2+b^2+c^2=3$. 

CMR $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq abc+2$

Không mất tính tổng quát, giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$. Khi đó:

 

$\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\geq 0\Rightarrow ac+b^{2}\leq ab+bc\\\Rightarrow b^{2}c+c^{2}a\leq abc+bc^{2}\\\Rightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq abc+b\left ( a^{2}+c^{2} \right )=abc+b\left ( 3-b^{2} \right )$

 

Do đó, ta chỉ cần chứng minh: 

 

$b\left ( 3-b^{2} \right )\leq 2\Leftrightarrow \left ( b-1 \right )^{2}\left ( b+2 \right )\geq 0$  (đúng)

 

Vậy bất đẳng thức đầu đúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$ 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh