Chủ đề này có 3 trả lời

[giomua]

Cho dãy số $(u_{n})$ được xác định bởi $\begin{cases}u_{1}=2 \\ \frac{u_{n+1}}{2}=\frac{u_{1}}{1}+\frac{u_{2}}{3}+\frac{u_{3}}{5}+...+\frac{u_{n}}{2n-1} \end{cases}$

 Với mỗi $n\in N^{*}$, đặt $S_{n}=\frac{u{_{1}}^{2}+u{_{2}}^{2}+u{_{3}}^{2}+...+u{_{n}}^{2}}{n^{3}}$. Tính $limS_{n}$.

[An Infinitesimal]

 

Cho dãy số $(u_{n})$ được xác định bởi $\begin{cases}u_{1}=2 \\ \frac{u_{n+1}}{2}=\frac{u_{1}}{1}+\frac{u_{2}}{3}+\frac{u_{3}}{5}+...+\frac{u_{n}}{2n-1} \end{cases}$

 Với mỗi $n\in N^{*}$, đặt $S_{n}=\frac{u{_{1}}^{2}+u{_{2}}^{2}+u{_{3}}^{2}+...+u{_{n}}^{2}}{n^{3}}$. Tính $limS_{n}$.

 

 

Lưu ý: 

$$\frac{u_{n+1}}{2}=\frac{u_{n}}{2}+\frac{u_{n}}{2n-1}.$$

Từ đó, bạn đã tìm được công thức tổng quát cho $u_n.$ Từ đó tính toán tiếp.

[hxthanh]

Lưu ý: 
$$\frac{u_{n+1}}{2}=\frac{u_{n}}{2}+\frac{u_{n}}{2n-1}.$$
Từ đó, bạn đã tìm được công thức tổng quát cho $u_n.$ Từ đó tính toán tiếp.

$\Rightarrow u_{n+1}=\frac{2n+1}{2n-1}u_n$
$\Rightarrow u_n=\frac{2n-1}{2n-3}\cdot\frac{2n-3}{2n-5}\cdots\frac{3}{1}u_1=4n-2$
$\Rightarrow S_n=\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^n(4k-2)^2$
$\Rightarrow S_n=\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^n\left(\frac{16}{3}(k+1)(k)(k-1)-\frac{16}{3}(k)(k-1)(k-2)+4(k+1)-4k\right)$
$\Rightarrow S_n=\frac{1}{n^3}\left(\frac{16(n+1)n(n-1)}{3}+4n\right)$
Đến đây có thể thấy ngay:
$\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{16}{3}$

[hxthanh]

Lời giải trên chưa đúng!
Theo giả thiết đề bài cho, ta thấy $u_2=4;\quad u_3=\frac{20}{3}$
Công thức $u_n$ đúng sẽ phải là
$\begin{cases}u_1=2\\ u_n=\frac{4(2n-1)}{3}\quad (n\geq 2)\end{cases}$
Và giới hạn cần tính chính xác phải là
$\lim_{n \to \infty}S_n=\frac{64}{27}$