2 replies to this topic

[The Flash]

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, một điểm $A(x;y)$ được gọi là điểm nguyên nếu $x,y\in \mathbb{Z}$.Giả sử $A_1A_2A_3...A_n$ là một $n$ giác lồi có tất cả các đỉnh là điểm nguyên.Biết rằng miền đa giác đó không chứa bất kì điểm nguyên nào ngoài các đỉnh $A_1,A_2,...,A_n$.Chứng minh rằng $n\leqslant 4$.

[Dark Magician 2k2]

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, một điểm $A(x;y)$ được gọi là điểm nguyên nếu $x,y\in \mathbb{Z}$.Giả sử $A_1A_2A_3...A_n$ là một $n$ giác lồi có tất cả các đỉnh là điểm nguyên.Biết rằng miền đa giác đó không chứa bất kì điểm nguyên nào ngoài các đỉnh $A_1,A_2,...,A_n$.Chứng minh rằng $n\leqslant 4$.

Giả sử đa giác đó có nhiều hơn $4$ đỉnh, tức ít nhất là $5$ đỉnh. Gọi toạ độ các đỉnh là $A_{i}(x_{i},y_{i})$

Do các đỉnh có toạ độ là số nguyên nên chỉ xảy ra $4$ trạng thái: (chẵn, chẵn); (chẵn, lẻ); (lẻ, chẵn); (lẻ, lẻ).

Do đó theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại $2$ đỉnh có cùng trạng thái.

Khi đó trung điểm của đoạn thẳng tạo bởi $2$ đỉnh này có toạ độ nguyên và nằm trong đa giác đó, vô lý.

Vậy đa giác đó chỉ có thể có tối đa $4$ cạnh. (Q.E.D)

[The Flash]

Bạn giúp mình mấy bài này với: http://diendantoanho...g-cmr/?p=671261

Edited by The Flash, 14-02-2017 - 23:10.