$r=\frac { a.Sin\frac { B }{ 2 } Sin\frac { C }{ 2 } }{ Cos\frac { A }{ 2 } }$
Cho tam giác ABC. Chứng minh:
#1
Đã gửi 12-02-2017 - 14:44
#2
Đã gửi 12-02-2017 - 17:37
$r=\frac { a.Sin\frac { B }{ 2 } Sin\frac { C }{ 2 } }{ Cos\frac { A }{ 2 } }$
Đầu tiên ta chứng minh $r=4R\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.Kẻ IH vuông góc với BC
Ta có BC=BI+IH
$2R\sin A=r(\cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2})$
$2R2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}=$$r\frac{\sin \frac{B+C}{2}}{\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}$(1)
Do $\sin \frac{B+C}{2}=\cos \frac{A}{2}$ nên từ (1) ta có:
r=$4R\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$(2)
Vậy đưa về bài toán ta cần chứng minh
(2)=$a\frac{\sin \frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}}{\cos \frac{A}{2}}$
$\Leftrightarrow a=4R\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}=2R\sin A$(luôn đúng theo định lý sin)
==> đpcm
#3
Đã gửi 24-04-2017 - 23:29
Trước hết ta chứng minh:$r= 4R\prod sin\frac{A}{2}$. Thật vậy, ta có:
$r= \frac{S}{p}= \frac{bcsinA}{a+b+c}= \frac{2R\prod sinA}{\sum sinA}$
$= \frac{16R\prod sin\frac{A}{2}\prod cos\frac{A}{2} }{4\prod cos\frac{A}{2}} = 4R\prod sin\frac{A}{2}$
Xét $\Delta$ ABC ngoại tiếp đường tròn ( I;r ).Áp dụng định lý sin cho $ \Delta ABC$, ta có:$\frac{IB}{sin\frac{C}{2}}= \frac{BC}{sin\frac{B+C}{2}}= \frac{a}{cos\frac{A}{2}} và IB = \frac{r}{sin\frac{B}{2}}=> \frac{r}{sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}}= \frac{a}{cos\frac{A}{2}}=> đpcm$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 26-04-2017 - 22:05
$\mathbb{VTL}$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh